Bernstein–Kushnirenkos sats

Bernstein –Kushnirenkos sats (eller Bernstein–Khovanskii–Kushnirenkos (BKK) sats ), bevisad av David Bernstein och Anatoliy Kushnirenko [ , är en sats inom algebra . Den anger att antalet komplexa lösningar som inte är noll för ett system av Laurents polynomialekvationer f $\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=0}$ är lika med den blandade volymen av Newtonpolytoperna för polynomen $f_{1},\ldots ,f_{n}$ , under antagande att alla koefficienter som inte är noll för $f_{n}$ är generisk. Ett mer exakt uttalande är följande:

Påstående

Låt $A$ vara en finit delmängd av $\mathbb {Z} ^{n}.$ Betrakta delrummet $L_{A}$ i Laurents polynomalgebra ${\displaystyle \ mathbb {C} \left[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}\right]} som består av Laurent-polynom vars exponenter är i A$ { \ displaystyle $}$ . Det är:

$L_{A}=\left\{f\,\left|\,f(x)=\summa _{\ alpha \in A}c_{\alpha }x^{\alpha },c_{\alpha }\in \mathbb {C} \right\},\right.$

där för varje $\alpha =(a_{1},\ldots ,a_{n})\i \mathbb {Z} ^{n}$ vi har använt stenografin $x^{\alpha }$ för att beteckna monomialen $x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.$

Ta nu $n$ ändliga delmängder $A_{1},\ldots ,A_{n}$ av $\mathbb {Z} ^{n}$ , $L_{A_{1}},\ldots ,L_{A_{n}}.$ motsvarande delrum av Laurents polynom, Betrakta ett generiskt ekvationssystem från dessa delrum, det vill säga:

$f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0,$

där varje $f_{i}$ är ett generiskt element i det (ändliga dimensionella vektorrymden) $L_{A_{i}}.$

Bernstein–Kushnirenkos sats säger att antalet lösningar $x\in (\mathbb {C} \setminus 0)^{n}$ av ett sådant system är lika med

$n!V(\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}),$

där $V$ betecknar Minkowskis blandade volym och för varje $i,\Delta _{i}$ är det konvexa skrovet för den finita uppsättningen av punkter $A_{i}$ . Tydligen $\Delta _{i}$ en konvex gitterpolytop ; det kan tolkas som Newton-polytopen för ett generiskt element i delrummet $L_{A_{i}$ .

I synnerhet om alla uppsättningar $A_{i}$ är lika, $A=A_{1}=\cdots =A_{n},$ då är antalet lösningar av ett generiskt system av Laurent-polynom från $L_{A}$ lika med

$n!\operatörsnamn {vol} (\Delta ),$

där $\Delta$ är det konvexa skrovet av $A$ och vol är den vanliga $n$ -dimensionella euklidiska volymen. Observera att även om volymen av en gitterpolytop inte nödvändigtvis är ett heltal, blir den ett heltal efter multiplicering med $n!$ .

Trivia

Kushnirenkos namn stavas också Kouchnirenko. David Bernstein är en bror till Joseph Bernstein . Askold Khovanskii har hittat cirka 15 olika bevis för denna sats.