Bender–Knuth involution

Inom algebraisk kombinatorik är en Bender–Knuth-involution en involution på uppsättningen av semistandardtablåer , introducerad av Bender & Knuth (1972 , s. 46–47) i deras studie av plana partitioner .

Definition

Bender–Knuth-involutionerna σ _k definieras för heltal k , och agerar på uppsättningen av semistandardskev unga tablåer av någon fast form μ/ν, där μ och ν är partitioner. Den agerar genom att ändra några av elementen k i tablåen till k + 1, och några av posterna k + 1 till k , på ett sådant sätt att antalet element med värdena k eller k + 1 byts ut. Kalla en post i tablån fri om den är k eller k + 1 och det inte finns något annat element med värdet k eller k + 1 i samma kolumn. För alla i är de fria posterna i rad i alla i på varandra följande kolumner och består av a _i -kopior av k följt av b _i -kopior av k + 1, för vissa a _i och b _i . Bender–Knuth-involutionen σ _k ersätter dem med b _i kopior av k följt av a _i kopior av k + 1.

Ansökningar

Bender–Knuth-involutioner kan användas för att visa att antalet halvstandardiserade skevta tablåer av given form och vikt är oförändrat under viktens permutationer. Detta innebär i sin tur att Schur-funktionen för en partition är en symmetrisk funktion.

Bender-Knuth-involutioner användes av Stembridge (2002) för att ge ett kort bevis på Littlewood-Richardson-regeln .

•    Bender, Edward A.; Knuth, Donald E. (1972), "Enumeration of plane partitions", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 13 (1): 40–54, doi : 10.1016/0097-3165(72)90007-6 , ISSN 1096- 0899 , MR 0299574
•    Stembridge, John R. (2002), "A concise proof of the Littlewood–Richardson rule" (PDF) , Electronic Journal of Combinatorics , 9 (1): Note 5, 4 pp. (elektronisk), ISSN 1077-8926 , MR 1912814