Belinfante–Rosenfeld stress–energitensor

Inom matematisk fysik är Belinfante – Rosenfeld- tensorn en modifiering av energi-momentum-tensorn som är konstruerad från den kanoniska energi-momentum - tensorn och spinnströmmen för att vara symmetrisk men ändå bevarad.

I en klassisk eller kvantlokal fältteori kan generatorn av Lorentz-transformationer skrivas som en integral

$M_{\mu \nu }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,{M^{0}}_{\mu \nu }$

av en lokal ström

${M^{\mu }}_{\nu \lambda }=(x_{\nu }{T^{\mu }}_{\lambda }-x_{\lambda }{T^{\mu }}_{\nu })+{S^{\mu }}_{\nu \lambda }.$

Här är ${T^{\mu }}_{\lambda }$ den kanoniska Noether -energi-momentum-tensorn och ${S^{\mu }}_{\nu \lambda }$ är bidraget från det inneboende (snurra) vinkelmomentet . Lokalt bevarande av rörelsemängd

$\partial _{\mu }{M^{\mu }}_{\nu \lambda }=0\,$

kräver det

$\partial _{\mu }{S^{\mu }}_{\nu \lambda }=T_{\lambda \nu }-T_{\nu \lambda }.$

En källa till spin-ström innebär alltså en icke-symmetrisk kanonisk energi-momentum-tensor.

Belinfante–Rosenfeld-tensorn är en modifiering av energimomentumtensorn

$T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \ nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\lambda }(S^{\mu \nu \lambda }+S^{\nu \mu \lambda }-S^{\lambda \nu \mu })$

som är konstruerad från den kanoniska energimomentumtensorn och spinnströmmen ${S^{\mu }}_{\nu \lambda }$ för att vara symmetrisk men ändå bevarad.

En integrering av delar visar det

$M^{\nu \lambda }=\int (x^{\nu}T_{B}^{0 \lambda }-x^{\lambda }T_{B}^{0\nu })\,\mathrm {d} ^{3}x,$

och så en fysisk tolkning av Belinfantes tensor är att den inkluderar det "bundna momentum" som är förknippat med gradienter av det inneboende vinkelmomentet. Med andra ord, den tillagda termen är en analog av ${\displaystyle {\mathbf {J} }_{\text{bound}}=\nabla \times \mathbf {M} } "$ bunden ström " associerad med en magnetiseringstäthet ${\mathbf {M} }$ .

Den märkliga kombinationen av spinnströmskomponenter som krävs för att göra $T_{B}^{\mu \nu }$ symmetrisk och ändå bevarad verkar helt ad hoc , men det visades av både Rosenfeld och Belinfante att den modifierade tensorn är just den symmetriska Hilbert-energi-momentum-tensorn som fungerar som gravitationskällan i den allmänna relativitetsteorien . Precis som det är summan av de bundna och fria strömmarna som fungerar som en källa till magnetfältet, är det summan av den bundna och fria energi-momentum som fungerar som en källa till gravitation.

Belinfante–Rosenfeld och Hilberts energi–momentum-tensor

Hilbert-energi-moment-tensorn $T_{\mu \nu }$ definieras av variationen av åtgärdsfunktionen $S_{\rm {eff}}$ med avseende på metriken som

$\delta S_{\rm {eff}}={\frac {1}{2}}\int d^{ n}x{\sqrt {g}}\,T_{\mu \nu }\,\delta g^{\mu \nu},$

eller motsvarande

$\delta S_{\rm {eff}}=-{\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T^{\mu \nu } \,\delta g_{\mu \nu }.$

(Minustecknet i den andra ekvationen uppstår eftersom $\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }\ delta g_{\sigma \tau }g^{\tau \nu }$ eftersom $\delta (g^{\mu \sigma }g_{\sigma \tau })=0.$ )

Vi kan också definiera en energi-momentumtensor $T_{cb}$ genom att variera en Minkowski-ortonormal vierbein ${\bf {e}}_{a}$ för att få

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left({\frac {\delta S}{\delta e_{a}^{\ mu }}}\right)\delta e_{a}^{\mu }\equiv \int d^{n}x{\sqrt {g}}\left(T_{cb}\eta ^{ca}e_{ \mu }^{*b}\right)\delta e_{a}^{\mu }.$

Här ${\displaystyle \eta _{ab}={\bf {e}}_{a}\cdot {\bf {e}}_{b}} Minkowski-måttet$ för den ortonormala vierbeinramen och ${\bf {e}}^{*b}$ är covektorerna dubbla till vierbeinerna.

Med vierbein-variationen finns det ingen direkt uppenbar anledning till att $T_{cb}$ ska vara symmetrisk. Den åtgärdsfunktionella $S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a})$ bör dock vara invariant under en infinitesimal lokal Lorentz-transformation $\delta e_{a}^{\mu }=e_{b}^{\mu }{\theta ^{b}}_{a}(x)$ , $\theta ^{ab}=-\theta ^{ba}$ och så

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca }e_{\mu }^{*b}e_{d}^{\mu }{\theta ^{d}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\, T_{cb}\,\eta ^{ca}{\theta ^{b}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\theta ^{bc}(x),$

bör vara noll. Eftersom $\theta ^{bc}(x)$ är en godtycklig positionsberoende skevsymmetrisk matris, ser vi att lokal Lorentz och rotationsinvarians både kräver och antyder att $T_{bc}=T_{cb}$ .

När vi väl vet att $T_{ab}$ är symmetrisk är det lätt att visa att ${\displaystyle T_{ab}=e_{a}^ {\mu }e_{b}^{\nu }T_{\mu \nu }} ,$ och så är vierbein-variationen energi-moment-tensor ekvivalent med den metriska-variationen Hilbert-tensor.

Vi kan nu förstå ursprunget till Belinfante–Rosenfeld-modifieringen av Noethers kanoniska energimomentumtensor. Utför åtgärden att vara $S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a},{\omega }_{\mu }^{ab})$ där ${\omega }_{\mu }^{ab}$ är spinnkopplingen som bestäms av ${\bf {e}}_ {a}$ via villkoret att vara metriskt kompatibel och vridningsfri. Spinströmmen ${S^{\mu }}_{ab}$ definieras sedan av variationen

${S^{\mu}}_{ab}={\frac {2}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff }}}{\delta \omega _{\mu }^{ab}}}\right)\right|_{{\bf {e}}_{a}}$

den vertikala stapeln som anger att ${\bf {e}}_{a}$ hålls fixerade under variationen. Den "kanoniska" Noether-energimomentumtensorn $T_{cb}^{(0)}$ är den del som uppstår från variationen där vi håller spin-kopplingen fixerad:

$T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left.\left( {\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\right|_{\omega _{\mu }^{ab}}.$

Sedan

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_ {\mu }^{*b}\delta e_{a}^{\mu}+{\frac {1}{2}}{S^{\mu}}_{ab}\delta {\omega ^{ ab}}_{\mu }\right\}.$

Nu, för en vridningsfri och metrisk-kompatibel anslutning, har vi det

$(\delta \omega _{ij\mu })e_{k}^{\mu }=-{\frac {1}{2}} \left\{(\nabla _{j}\delta e_{ik}-\nabla _{k}\delta e_{ij})+(\nabla _{k}\delta e_{ji}-\nabla _{ i}\delta e_{jk})-(\nabla _{i}\delta e_{kj}-\nabla _{j}\delta e_{ki})\right\},$

där vi använder notationen

$\delta e_{ij}={\bf {e}}_{i}\cdot \delta {\bf {e}}_{j}=\eta _{ib}[e_{\alpha }^ {*b}\delta e_{j}^{\alpha }].$

Med hjälp av spin-kopplingsvariationen, och efter en integrering av delar, finner vi

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}+{\frac {1} {2}}\nabla _{a}({S_{bc}}^{a}+{S_{cb}}^{a}-{S^{a}}_{bc})\right\}\ eta ^{cd}e_{\mu }^{*b}\,\delta e_{d}^{\mu }.$

Sålunda ser vi att korrigeringar av den kanoniska Noether-tensorn som förekommer i Belinfante–Rosenfeld-tensorn sker eftersom vi samtidigt måste variera vierbein och spinnkopplingen om vi ska bevara lokal Lorentz-invarians.

Som ett exempel, betrakta den klassiska Lagrangian för Dirac-fältet

$\int d^{d}x{\sqrt {g}}\left\{{\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma ^{a}e_ {a}^{\mu }\nabla _{\mu }\Psi -(\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }})e_{a}^{\mu }\gamma _{a} \Psi \right)+m{\bar {\Psi }}\Psi \right\}.$

Här är spinor-kovariantderivaten

$\nabla _{\mu }\Psi =\left({\frac {\partial }{ \partial x^{\mu }}}+{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\ höger)\Psi ,$

$\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }}=\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {1}{8} [\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right){\bar {\Psi }}.$

Vi får därför

$T_{bc}^{(0)}={\frac {i} {2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma _{c}(\nabla _{b}\Psi )-(\nabla _{b}{\bar {\Psi }})\gamma _{c}\Psi \right),$

${S^{a}}_{bc}={\frac {i}{8}}{\bar {\Psi }}\{\gamma ^{a},[\gamma _{b}, \gamma _{c}]\}\Psi .$

Det finns inget bidrag från ${\sqrt {g}}$ om vi använder rörelseekvationerna, dvs vi är på skalet.

Nu

$\{\gamma _{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\} =4\gamma _{a}\gamma _{b}\gamma _{c},$

om $a,bc$ är distinkta och noll annars. Som en konsekvens $S_{abc}$ helt antisymmetrisk. Nu, med hjälp av detta resultat, och återigen rörelseekvationerna, finner vi det

$\nabla _{a}{S^{a}}_{bc}=T_{cb}^{(0)} -T_{bc}^{(0)},$

Därmed blir Belinfante–Rosenfeld-tensoren

$T_{bc}=T_{bc}^{(0)}+{\frac {1}{2}}(T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0) })={\frac {1}{2}}(T_{bc}^{(0)}+T_{cb}^{(0)}).$

Belinfante-Rosenfeld-tensorn för Dirac-fältet ses därför vara den symmetriska kanoniska energi-momentum-tensorn.

Weinbergs definition

Steven Weinberg definierade Belinfante-tensoren som

$T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {i }{2}}\partial _{\kappa }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\kappa}\Psi ^{\ell })}} ({\mathcal {J}}^{\mu \nu})_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}} {\partial (\partial _{\mu}\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \nu })_{\,\,m}^{\ell } \Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}} ^{\kappa \mu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}\right]$

där ${\mathcal {L}}$ är den lagrangiska densiteten , mängden {Ψ} är fälten som visas i lagrangian, den icke-Belinfantes energimomentumtensor definieras av

$T^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}} -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}\partial ^{\nu}\Psi ^{\ell }$

och ${\mathcal {J^{\mu \nu }}}$ är en uppsättning matriser som uppfyller algebra för den homogena Lorentzgruppen

${\thcal }}^{\mu \nu },{\mathcal {J}}^{\rho \sigma }]=i{\mathcal {J}}^{\rho \nu }\eta ^{\mu \sigma } -i{\mathcal {J}}^{\sigma \nu }\eta ^{\mu \rho }-i{\mathcal {J}}^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho } +i{\mathcal {J}}^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$ .