Befolkningsbalansekvation

Populationsbalansekvationer (PBE) har introducerats i flera grenar av modern vetenskap, främst inom kemiteknik , för att beskriva utvecklingen av en population av partiklar. Detta inkluderar ämnen som kristallisering , urlakning (metallurgi) , vätske-vätskeextraktion , gas-vätskedispersioner som vattenelektrolys , vätske-vätske-reaktioner, finfördelning, aerosolteknik, biologi (där de separata enheterna är celler baserat på deras storlek eller intracellulära proteiner) , polymerisation , etc. Populationsbalansekvationer kan sägas härledas som en förlängning av Smoluchowskis koagulationsekvation som endast beskriver koalescensen av partiklar. PBE definierar mer generellt hur populationer av separata enheter utvecklas i specifika fastigheter över tiden. De är en uppsättning integro-partiella differentialekvationer som ger medelfältsbeteendet för en population av partiklar från analysen av beteendet hos en enskild partikel under lokala förhållanden. Partikelsystem kännetecknas av partiklars födelse och död. Tänk till exempel på utfällningsprocess (bildning av fast material från flytande lösning) som har delprocesserna kärnbildning , agglomerering , brott, etc., som resulterar i ökning eller minskning av antalet partiklar med en viss radie (förutsatt att det bildas sfäriska partiklar) . Befolkningsbalans är inget annat än en balans på antalet partiklar i ett visst tillstånd (i detta exempel storlek ).

Formulering av PBE

Betrakta det genomsnittliga antalet partiklar med partikelegenskaper betecknade med en partikeltillståndsvektor ( x , r ) (där x motsvarar partikelegenskaper som storlek, densitet etc. även känd som inre koordinater och r motsvarar rumslig position eller externa koordinater) dispergerad i en kontinuerlig fas definierad av en fasvektor Y( r ,t) (som återigen är en funktion av alla sådana vektorer som betecknar fasegenskaperna vid olika ställen) betecknas med f( x , r ,t). Därför ger det partikeln egenskaper i egenskaps- och rymddomäner. Låt h( x , r , Y ,t) beteckna partiklarnas födelsetal per volymenhet av partikeltillståndsrymden, så att talkonserveringen kan skrivas som

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}( t)}dV_{r}\,f(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,t)=\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,h(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,\mathbf {Y} ,t)$

Detta är en generaliserad form av PBE.

Lösning på PBE

Monte Carlo metoder , diskretiseringsmetoder och momentmetoder används främst för att lösa dessa ekvationer . Valet beror på applikationen och datorinfrastrukturen.