Bayesiansk ekonometri

Bayesiansk ekonometri är en gren av ekonometri som tillämpar Bayesianska principer på ekonomisk modellering. Bayesianism är baserad på en trosgrad tolkning av sannolikhet , i motsats till en relativ frekvens tolkning.

Den Bayesianska principen bygger på Bayes teorem som säger att sannolikheten för B villkorad av A är förhållandet mellan gemensamma sannolikhet för A och B dividerat med sannolikhet för B. Bayesianska ekonometriker antar att koefficienter i modellen har tidigare fördelningar .

Detta tillvägagångssätt spreds först av Arnold Zellner .

Grunderna

Subjektiva sannolikheter måste uppfylla sannolikhetsteorins standardaxiom om man vill undvika att förlora en satsning oavsett utfallet. Innan data observeras betraktas parametern ${\displaystyle \theta } som en okänd storhet och därmed slumpvariabel, som tilldelas en$ tidigare fördelning $\pi (\theta )$ med $0\leq \theta \leq 1$ . Bayesiansk analys koncentrerar sig på inferensen av den bakre fördelningen $\pi (\theta |y)$ , dvs fördelningen av den slumpmässiga variabeln $\theta$ villkorad av observationen av den diskreta data $y$ . Den bakre densitetsfunktionen $\pi (\theta |y)$ kan beräknas baserat på Bayes sats :

\pi (\theta |y)={\frac {p(y|\theta )\pi (\theta) }{p(y)}}

där ${\displaystyle p(y)=\int p(y|\theta )\pi (\theta )d\theta } , vilket$ ger en normaliserad sannolikhetsfunktion. För kontinuerlig data $y$ motsvarar detta:

\pi (\theta |y)={\frac {f(y|\theta )\pi (\theta) }{f(y)}}

där $f(y)=\int f(y|\theta )\pi (\theta )d\theta$ och vilket är mittpunkten i Bayesiansk statistik och ekonometri. Den har följande komponenter:

$\pi (\theta |y)$ : den bakre densitetsfunktionen för $\theta |y$ ;
$f(y|\theta )$ : sannolikhetsfunktionen , dvs densitetsfunktionen för de observerade data $y$ när parametervärdet är $\theta$ ;
$\pi (\theta )$ : den tidigare fördelningen av $\theta$ ;
$f(y)$ : sannolikhetstäthetsfunktionen för $y$ .

Den bakre funktionen ges av $\pi (\theta |y)\propto f(y|\theta )\pi (\theta )$ , dvs den bakre funktionen är proportionell mot produkten av sannolikhetsfunktionen och den tidigare fördelningen, och kan förstås som en metod för att uppdatera information, med skillnaden mellan $\pi (\theta )$ och $\pi (\theta |y)$ är informationsvinsten om $\theta$ efter att ha observerat nya data. Valet av den tidigare fördelningen används för att införa begränsningar för $\theta$ , t.ex. $0\leq \theta \leq 1$ , med betafördelningen som ett vanligt val på grund av (dvs. ) definieras mellan 0 och 1, (ii) kunna producera en mängd olika former, och (iii) ge en bakre fördelning av standardformen om den kombineras med sannolikhetsfunktionen $\theta ^{\Sigma y_{i}}(1-\theta )^{n-\Sigma y_{i}}$ . Baserat på egenskaperna hos betafördelningen innebär en allt större urvalsstorlek att medelvärdet av den bakre fördelningen approximerar den maximala sannolikhetsskattaren ${\bar {y}}.$ Den antagna formen av sannolikhetsfunktionen är en del av den tidigare informationen och måste motiveras. Olika fördelningsantaganden kan jämföras med posterior oddskvoter om a priori grunder inte ger ett tydligt val. bland annat betafördelningen, gammafördelningen och den enhetliga fördelningen . Om modellen innehåller flera parametrar kan parametern omdefinieras som en vektor. Att tillämpa sannolikhetsteori på den vektorn av parametrar ger de marginella och villkorliga fördelningarna av individuella parametrar eller parametergrupper. Om datagenereringen är sekventiell, innebär Bayesianska principer att den bakre fördelningen för parametern baserat på nya bevis kommer att vara proportionell mot produkten av sannolikheten för de nya data, givet tidigare data och parametern, och den bakre fördelningen för parametern, givet den gamla data, som ger ett intuitivt sätt att tillåta ny information att påverka föreställningar om en parameter genom Bayesiansk uppdatering . Om urvalsstorleken är stor spelar (i) den tidigare fördelningen en relativt liten roll för att bestämma den bakre fördelningen, (ii) den bakre fördelningen konvergerar till en degenererad fördelning vid parameterns sanna värde, och (iii) den bakre fördelningen är ungefär normalfördelad med medelvärdet ${\hat {\theta }}$ .

Historia

De idéer som ligger bakom Bayesiansk statistik utvecklades av pastor Thomas Bayes under 1700-talet och utökades senare av Pierre-Simon Laplace . Redan 1950 erkändes potentialen för den Bayesianska slutsatsen inom ekonometri av Jacob Marschak . Den Bayesianska metoden tillämpades först på ekonometri i början av 1960-talet av WD Fisher, Jacques Drèze , Clifford Hildreth , Thomas J. Rothenberg, George Tiao och Arnold Zellner . Den centrala motivationen bakom dessa tidiga strävanden i Bayesiansk ekonometri var kombinationen av parameterestimatorerna med tillgänglig osäker information om modellparametrarna som inte ingick i en given modellformulering. Från mitten av 1960-talet till mitten av 1970-talet dominerade omformuleringen av ekonometriska tekniker enligt Bayesianska principer under den traditionella strukturella strategin forskningsagendan, med Zellners An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics 1971 som en av dess höjdpunkter, och följde därför nära den frekventistiska ekonometrins arbete. Där var de huvudsakliga tekniska frågorna svårigheten att specificera tidigare tätheter utan att förlora vare sig ekonomisk tolkning eller matematisk överlägsenhet och svårigheten med integralberäkning i samband med densitetsfunktioner. Resultatet av det Bayesianska omformuleringsprogrammet var att belysa strukturella modellers bräcklighet för osäkra specifikationer. Denna bräcklighet kom att motivera arbetet av Edward Leamer , som med eftertryck kritiserade modellbyggares tendens att hänge sig åt "post-data modellkonstruktion" och som följd utvecklade en metod för ekonomisk modellering baserad på valet av regressionsmodeller enligt typerna av tidigare densitetsspecifikationer för att explicit identifiera de tidigare strukturerna som ligger till grund för modellerarnas arbetsregler vid modellval. Bayesiansk ekonometri blev också attraktiv för Christopher Sims försök att gå från strukturell modellering till VAR- modellering på grund av dess explicita sannolikhetsspecifikation av parameterbegränsningar. Driven av den snabba tillväxten av beräkningskapacitet från mitten av 1980-talet och framåt, gjorde tillämpningen av Markov-kedjans Monte Carlo- simulering på statistiska och ekonometriska modeller, som först utfördes i början av 1990-talet, det möjligt för Bayesiansk analys att drastiskt öka dess inflytande inom ekonomi och ekonometri.

Aktuella forskningsämnen

Sedan början av 2000-talet har forskningen inom Bayesiansk ekonometri koncentrerats på:

samplingsmetoder lämpliga för parallellisering och GPU- beräkningar;
komplexa ekonomiska modeller som redogör för olinjära effekter och fullständiga prediktiva tätheter;
analys av implicita modellegenskaper och beslutsanalys;
inkorporering av modellens ofullständighet i ekonometrisk analys.

Koop, Gary; Poirier, Dale J.; Tobias, Justin L. (2007). Bayesianska ekonometriska metoder . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85571-6 .
Lancaster, Tony (2004). En introduktion till modern Bayesiansk ekonometri . Blackwell. ISBN 1-4051-1720-6 .
Zellner, A. (1996). An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics (Reprint of 1971 ed.). Wiley. ISBN 0-471-16937-4 .
Greenberg, Edward (2012). Introduktion till Bayesian Econometrics (andra upplagan). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01531-9 .