Banachs tändsticksaskproblem

Banachs matchproblem är ett klassiskt sannolikhetsproblem som tillskrivs Stefan Banach . Feller säger att problemet var inspirerat av en humoristisk hänvisning till Banachs rökvana i ett tal som hedrade honom av Hugo Steinhaus , men att det inte var Banach som satte problemet eller gav ett svar.

Anta att en matematiker alltid har två tändsticksaskar: en i vänster ficka och en i höger. Varje gång han behöver en tändsticka är det lika troligt att han tar den ur båda fickorna. Anta att han sträcker sig ner i fickan och upptäcker för första gången att den plockade lådan är tom. Om det antas att var och en av matchboxarna ursprungligen innehöll $N$ -matchningar, vad är sannolikheten att det finns exakt $k$ -matchningar i den andra boxen?

Lösning

Utan förlust av allmänhet överväg fallet där tändsticksasken i hans högra ficka har ett obegränsat antal tändstickor och låt $M$ vara antalet tändstickor som tagits bort från denna innan den vänstra visar sig vara tom. När den vänstra fickan visar sig vara tom har mannen valt den fickan $(N+1)$ gånger. Då $M$ antalet framgångar före ${\displaystyle p=1/2} ,$ $displaystyle (N+1)}$ misslyckanden i Bernoulli-försök med som har negativ binomialfördelning och därmed

P[M=m]={\binom {N+m}{m}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{N+1+m}

.

För att återgå till det ursprungliga problemet ser vi att sannolikheten att den vänstra fickan är tom först är $P[M<N+1]$ vilket är lika med $1/2$ eftersom båda är lika sannolika. Vi ser att antalet $K$ av tändstickor som finns kvar i den andra fickan är

P[K=k]=P[M=Nk| M<N+1]=2P[M=Nk]={\binom {2N-k}{Nk}}\vänster({\frac {1}{2}}\höger)^{2N-k}

.

Förväntningen på fördelningen är ungefär $2{\sqrt {N/\pi }}-1$ . (Detta visas med Stirlings uppskattning .) Så börjar med rutor med $N=40$ matchningar, det förväntade antalet matchningar i den andra rutan är $6$ .

Fördelning av sannolikheten för att ha k tändstickor kvar i den andra fickan.

Se även

Lista över saker uppkallade efter Stefan Banach

externa länkar

Java applet