BIO-LGCA

Inom beräknings- och matematisk biologi är en biologisk gitter-gas cellulär automat (BIO-LGCA) en diskret modell för att flytta och interagera biologiska medel, en typ av cellulär automat . BIO-LGCA är baserad på lattice-gas cellular automaton (LGCA)-modellen som används inom vätskedynamik. En BIO-LGCA-modell beskriver celler och andra rörliga biologiska medel som punktpartiklar som rör sig på ett diskret gitter och därigenom interagerar med närliggande partiklar. I motsats till klassiska cellulära automatmodeller, definieras partiklar i BIO-LGCA av deras position och hastighet. Detta gör det möjligt att modellera och analysera aktiva vätskor och kollektiv migration medierad främst genom förändringar i momentum, snarare än densitet. BIO-LGCA-applikationer inkluderar cancerinvasion och cancerprogression .

Modelldefinition

Liksom alla mobila automatmodeller definieras en BIO-LGCA-modell av ett gitter ${\mathcal {L}}$ , ett tillståndsutrymme ${\mathcal {E}}$ , ett grannskap ${ \displaystyle {\mathcal {N}}}$ och en regel ${\mathcal {R}}$ .

• Gittret ( ${\mathcal {L}}$ ) definierar mängden av alla möjliga partikelpositioner. Partiklar är begränsade till att endast uppta vissa positioner, vanligtvis ett resultat av en regelbunden och periodisk tesselation av rymden. Matematiskt sett ${\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ en diskret delmängd av $d$ -dimensionellt utrymme.
• Tillståndsutrymmet ( ${\mathcal {E}}$ ) beskriver de möjliga tillstånden för partiklar inom varje gitterplats $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ . I BIO-LGCA kan flera partiklar med olika hastigheter ockupera en enda gitterplats, till skillnad från klassiska cellulära automatmodeller, där vanligtvis bara en enda cell kan finnas i varje gitternod samtidigt. Detta gör tillståndsutrymmet något mer komplext än det för klassiska cellulära automatmodeller (se nedan).
• Grannskapet ( ${\mathcal {N}}$ ) indikerar den delmängd av gitterplatser som bestämmer dynamiken för en given plats i gittret. Partiklar interagerar endast med andra partiklar i deras närområde. Randvillkor måste väljas för grannskap av gitterplatser vid gränsen för finita gitter. Grannskap och gränsvillkor definieras identiskt som de för vanliga cellulära automater (se Cellulära automater) .
• Regeln ( ${\displaystyle {\mathcal {R}}})$ dikterar hur partiklar rör sig, förökar sig eller dör med tiden. Som varje cellulär automat, utvecklas BIO-LGCA i diskreta tidssteg. För att simulera systemdynamiken tillämpas regeln synkront på varje gitterplats vid varje tidssteg. Regeltillämpning ändrar det ursprungliga tillståndet för en gitterplats till ett nytt tillstånd. Regeln beror på tillstånden för gitterplatserna i interaktionsområdet för gitterplatsen som ska uppdateras. I BIO-LGCA är regeln uppdelad i två steg, ett probabilistiskt interaktionssteg följt av ett deterministiskt transportsteg. Interaktionssteget simulerar omorientering, födelse- och dödsprocesser och definieras specifikt för den modellerade processen. Transportsteget translokerar partiklar till angränsande gitternoder i riktning mot deras hastigheter. Se nedan för detaljer.

Tillståndsrums

Understrukturen av en BIO-LGCA-gitterplats med sex hastighetskanaler (motsvarande ett 2D hexagonalt gitter) och en enda vilokanal. I detta fall $b=6$ , $a=1$ , och bärförmågan $K=7$ . Kanalerna 2, 3, 6 och 7 är upptagna, så gitterkonfigurationen är $\mathbf {s} =(0,1,1,0,0, 1,1)$ , och antalet partiklar är $n\left(\mathbf {s} \right)=\summa _{i=1} ^{K}s_{i}=4$ .

För explicit modellering av partikelhastigheter antas gitterplatserna ha en specifik understruktur. Varje gitterplats $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ är ansluten till dess närliggande gitterplatser genom vektorer som kallas "hastighetskanaler", $\mathbf {c} _ {i}$ , $i\in \{1,2,\ldots ,b\}$ , där antalet hastighetskanaler $b$ är lika till antalet närmaste grannar, och beror alltså på gittergeometrin ( $b=2$ för ett endimensionellt gitter, $b=6$ för ett tvådimensionellt sexkantigt gitter, och så vidare). I två dimensioner definieras hastighetskanaler som $\mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2 \pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)$ . Dessutom kan ett godtyckligt antal $a$ av så kallade "vilokanaler" definieras, så att $\mathbf {c} _{i}=(0,0)$ , $i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}$ . En kanal sägs vara upptagen om det finns en partikel i gitterplatsen med en hastighet lika med hastighetskanalen. Ockupationen av kanal $\mathbf {c} _{i}$ indikeras av yrkesnumret $s_{i}$ . Typiskt antas partiklar lyda en uteslutningsprincip , så att inte mer än en partikel kan uppta en enda hastighetskanal vid ett gitterställe samtidigt. I det här fallet är yrkesnummer booleska variabler, dvs. ${\displaystyle s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}} ,$ och därmed varje webbplatsen har en maximal bärkapacitet $K=a+b$ . Eftersom samlingen av alla kanaluppsättningsnummer definierar antalet partiklar och deras hastigheter i varje gitterplats, vektorn $\mathbf {s} =\left(s_ {1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)$ beskriver tillståndet för en gitterplats, och tillståndsutrymmet ges av ${\mathcal {E}}= {\mathcal {S}}^{K}$ .

Regel- och modelldynamik

Tillstånden för varje plats i gittret uppdateras synkront i diskreta tidssteg för att simulera modelldynamiken. Regeln är uppdelad i två steg. Det probabilistiska interaktionssteget simulerar partikelinteraktion, medan det deterministiska transportsteget simulerar partikelrörelse.

Interaktionssteg

Beroende på den specifika tillämpningen kan interaktionssteget bestå av reaktions- och/eller omorienteringsoperatorer.

Reaktionsoperatorn ${\mathcal {A}}$ ersätter tillståndet för en nod $\mathbf {s}$ med ett nytt tillstånd $\mathbf {s} ^{\mathcal { A}}$ efter en övergångssannolikhet $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right |\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ , vilket beror på tillståndet för de angränsande gitterplatserna $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}$ för att simulera inverkan av närliggande partiklar på den reaktiva processen. Reaktionsoperatören sparar inte partikelantal, vilket gör det möjligt att simulera individers födelse och död. Reaktionsoperatörens övergångssannolikhet definieras vanligtvis ad hoc från fenomenologiska observationer.

Omorienteringsoperatorn ${\mathcal {O}}$ ersätter också ett tillstånd $\mathbf {s}$ med ett nytt tillstånd $\mathbf {s} ^{\mathcal {O} }$ med sannolikhet $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf { s} _{\mathcal {N}}\right)$ . Denna operatör bevarar dock partikelantal och modellerar därför endast förändringar i partikelhastighet genom att omfördela partiklar mellan hastighetskanaler. Övergångssannolikheten för denna operator kan bestämmas från statistiska observationer (genom att använda principen om maximal kaliber ) eller från känd enpartikeldynamik (med användning av den diskretiserade, stabila vinkelsannolikhetsfördelningen som ges av Fokker-Planck-ekvationen associerad med en Langevin-ekvation beskriver omorienteringsdynamiken), och tar vanligtvis formen

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \ mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\ vänster(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal { Åh just det)}$$

där $Z$ är en normaliseringskonstant (även känd som partitionsfunktionen ), $H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ är en energiliknande funktion som partiklar sannolikt kommer att minimera när de ändrar sin rörelseriktning, $\beta$ är en fri parameter omvänt proportionell mot slumpmässigheten i partikelomorienteringen (analogt med den inversa temperaturen i termodynamiken), och $\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ är ett Kronecker-delta som säkerställer att partikelnummer före $n\left(\mathbf {s} \right)$ och efter omorientering $n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ är oförändrad.

Tillståndsformen som tillämpar reaktions- och omorienteringsoperatorn $\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ är känd som post-interaktionskonfigurationen och betecknas med $\mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A }}}$ .

Dynamik för BIO-LGCA-modellen. Varje tidssteg ändras ockupationsnumren stokastiskt av reaktions- och/eller omorienteringsoperatorerna i alla gitterställen samtidigt under interaktionssteget. Därefter förflyttas partiklar deterministiskt till samma hastighetskanal på en angränsande nod i riktning mot deras hastighetskanal, under transportsteget. Färger i skissen används för att spåra dynamiken hos partiklarna i enskilda noder. Denna skiss antar en partikelbevarande regel (ingen reaktionsoperator).

Transportsteg

Efter interaktionssteget appliceras det deterministiska transportsteget synkront på alla gitterställen. Transportsteget simulerar förflyttning av ämnen i enlighet med deras hastighet, på grund av självframdrivning av levande organismer.

$s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )$ steg kommer ockupationsnumren för post-interaktionstillstånd att definieras som de nya ockupationstillstånden för samma kanal på den angränsande gitterplatsen i hastighetskanalens riktning, dvs. s .

Ett nytt tidssteg börjar när både interaktions- och transportsteg har inträffat. Därför kan dynamiken hos BIO-LGCA sammanfattas som den mikrodynamiska stokastiska ekvationen med ändlig skillnad

$$s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)= s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$$

Exempel på interaktionsdynamik

En sexkantig BIO-LGCA-modell av polarsvärmning. I denna modell ändrar celler företrädesvis sina hastigheter för att vara parallella med områdets rörelsemängd. Gitterplatser färgas enligt deras orientering, efter färghjulet . Tomma platser är vita. Periodiska randvillkor användes.

Övergångssannolikheten för reaktions- och/eller omorienteringsoperatören måste definieras för att på lämpligt sätt simulera det modellerade systemet. Några elementära interaktioner och motsvarande övergångssannolikheter listas nedan.

En spontan promenad

I frånvaro av externa eller interna stimuli kan celler röra sig slumpmässigt utan någon riktningspreferens. I detta fall kan omorienteringsoperatören definieras genom en övergångssannolikhet

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal { O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^ {\mathcal {O}}\right)}}{Z}}$$

En hexagonal BIO-LGCA-modell av exciterbara medier. I denna modell gynnar reaktionsoperatören den snabba reproduktionen av partiklar i hastighetskanalerna och den långsamma döden av partiklar i vilokanalerna. Partiklar i vilokanaler hämmar reproduktionen av partiklar i hastighetskanaler. Omorienteringsoperatorn är den slumpmässiga promenadoperatorn i texten. Gitterplatser är ljust färgade ju fler rörliga partiklar som finns. Vilande partiklar visas inte. Periodiska randvillkor användes.

där $Z=\summa _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ . Sådan övergångssannolikhet tillåter alla konfigurationer efter omorientering $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ med samma antal partiklar som konfigurationen före omorientering $\mathbf {s}$ , att plockas enhetligt .

Enkel födelse- och dödsprocess

Om organismer reproducerar och dör oberoende av andra individer (med undantag av den ändliga bärförmågan), så kan en enkel födelse-/dödsprocess simuleras med en övergångssannolikhet som ges av

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right )-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s } ^{\mathcal {A}}\right)\right]$$

där $r_{b},r_{d}\i [0,1]$ , $r_{b}+r_{d }\leq 1$ är konstanta födelse- respektive dödssannolikheter, $\delta _{i,j}$ är Kronecker-deltat som säkerställer att endast en födelse-/dödshändelse inträffar varje tidssteg, och $\Theta (x)$ är Heaviside-funktionen , som ser till att partikelantal är positiva och begränsas av bärförmågan $K$ .

En fyrkantig BIO-LGCA-modell av celler som interagerar adhesivt. Celler rör sig företrädesvis i riktning mot celldensitetsgradienten. Gitterplatser färgas med allt mörkare blå färger med ökande celltäthet. Tomma noder är färgade vita. Periodiska gränsvillkor används.

Adhesiva interaktioner

Celler kan fästa vid varandra av cadherinmolekyler på cellytan. Cadherin-interaktioner tillåter celler att bilda aggregat. Bildandet av cellaggregat via adhesiva biomolekyler kan modelleras av en omorienteringsoperator med övergångssannolikheter definierade som

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s } ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G } \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]$$

En fyrkantig BIO-LGCA-modell av celler som indirekt interagerar kemotaktiskt . I denna modell producerar celler en diffuserande kemoattraktant med en viss halveringstid . Celler rör sig företrädesvis i riktning mot kemoattraktantgradienten. Gitterställen är additivt färgade med en mörkare blå nyans med ökande celltäthet och med en mörkare gul nyans med ökande koncentration av kemoattraherande medel. Tomma gitterplatser är färgade vita. Periodiska randvillkor användes.

där $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ är en vektor som pekar i riktningen för maximal celldensitet, definierad som $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)= \sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\ mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)$ , där $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}$ är konfigurationen av gitterplatsen $\mathbf {r} '$ inom området ${\mathcal {N}}$ och $\mathbf {J} \ left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ är momentum för konfigurationen efter omorientering, definierad som $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\summa _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\ mathbf {c} _{j}$ . Denna övergångssannolikhet gynnar konfigurationer efter omorientering med celler som rör sig mot celldensitetsgradienten.

Matematisk analys

Eftersom en exakt behandling av en stokastisk agensbaserad modell snabbt blir omöjlig på grund av höga ordningens korrelationer mellan alla agens, är den allmänna metoden för att analysera en BIO-LGCA-modell att gjuta den i en ungefärlig, deterministisk finita differensekvation (FDE) som beskriver befolkningens medeldynamik , utför sedan den matematiska analysen av denna ungefärliga modell och jämför resultaten med den ursprungliga BIO-LGCA-modellen.

Först, det förväntade värdet av den mikrodynamiska ekvationen $s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _ {m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$ erhålls

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k +1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$$

där $\langle \cdot \rangle$ anger det förväntade värdet , och ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle } är det förväntade värdet för$ m $\displaystyle m}$ -th kanal ockupationsnummer för gitterplatsen vid $\mathbf {r}$ vid tidssteg $k$ . Men termen till höger, $\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right) \right\rangle$ är mycket olinjär på ockupationsnumren för både gitterplatsen $\mathbf {r}$ och gitterplatserna inom interaktionskvarteret ${\displaystyle {\mathcal {N}}} ,$ p.g.a. formen av övergångssannolikheten $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\ mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ och statistiken över partikelplacering inom hastighetskanaler (till exempel som härrör från en uteslutningsprincip som ålagts kanalockupationer). Denna icke-linjäritet skulle resultera i korrelationer och moment av hög ordning bland alla inblandade kanaluppdrag. Istället antas vanligtvis en medelfältsapproximation, där alla korrelationer och moment av hög ordning försummas, så att direkta partikel-partikel-interaktioner ersätts med interaktioner med respektive förväntade värden. Med andra ord, om $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ är slumpvariabler och $F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ är en funktion, då ${\displaystyle \left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left( \left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)} under denna approximation$ . Således kan vi förenkla ekvationen till

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c } _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\ mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$$

där ${\displaystyle {\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right), \mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)} är$ en icke-linjär funktion av den förväntade gitterplatskonfigurationen ${\displaystyle$ och den förväntade grannskapskonfigurationen $\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\ mathbf {r} ,k\right)$ beroende på övergångssannolikheter och statistik i nodpartikeln.

Från denna olinjära FDE kan man identifiera flera homogena steady states , eller konstanter ${\bar {f}}_{m}$ oberoende av $\mathbf {r}$ och $k$ som är lösningar till FDE. För att studera stabilitetsförhållandena för dessa stationära tillstånd och modellens mönsterbildningspotential kan en linjär stabilitetsanalys utföras. För att göra det linjäriseras den olinjära FDE som

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\summa _{j =1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_ {\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\summa _{j=1}^{K}\summa _{p=1}^{K}\ vänster.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\höger |_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)$$

där $\mathrm {ss}$ anger det homogena stationära tillståndet ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}} , och ett von Neumann-$ kvarter antogs . För att gjuta den till en mer välbekant finit differensekvation med endast temporala inkrement, kan en diskret Fouriertransform tillämpas på båda sidor av ekvationen. Efter att ha tillämpat skiftsatsen och isolerat termen med ett temporalt inkrement till vänster, får man gitter-Boltzmann-ekvationen

$${\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right) =e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K }\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\summa _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} + \mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}$$

där $i={\sqrt {-1}}$ är den imaginära enheten , $L$ är storleken på gittret längs en dimension, $\mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$ är Fouriervågens tal , och ${\hat { \cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}$ betecknar den diskreta Fouriertransformen. I matrisnotation är denna ekvation förenklad till ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} , k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)} , där matrisen Γ {\displaystyle \Gamma$ } $Boltzmann$ - propagatorn och definieras som

$$\Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\ vänster.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+ \sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\höger].$$

Egenvärdena $\lambda \left(\mathbf {q} \right)$ för Boltzmann-propagatorn dikterar stabilitetsegenskaperna för det stabila tillståndet:

• Om ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1} ,$ där $|\cdot |$ betecknar modulen , sedan växer störningar med vågnummer $\mathbf {q}$ med tiden. Om ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1} ,$ och ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}} , sedan störningar med$ vågnummer $\mathbf {q} _{\mathrm {max} }$ kommer att dominera och mönster med en tydlig våglängd kommer att observeras. Annars är det stabila tillståndet stabilt och eventuella störningar kommer att avta.
• Om ${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0} ,$ där $\ mathrm {arg} (\cdot )$ betecknar argumentet , sedan transporteras störningar och icke-stationära populationsbeteenden observeras. Annars kommer populationen att verka statisk på makroskopisk nivå.

Ansökningar

Att konstruera en BIO-LGCA för studier av biologiska fenomen innebär huvudsakligen att definiera lämpliga övergångssannolikheter för interaktionsoperatören, även om exakta definitioner av tillståndsrummet (för att ta hänsyn till flera cellulära fenotyper , till exempel), randvillkor (för modellering av fenomen under begränsade förhållanden) , grannskap (för att matcha experimentella interaktionsintervall kvantitativt) och bärförmåga (för att simulera trängseleffekter för givna cellstorlekar) kan vara viktiga för specifika tillämpningar. Medan fördelningen av omorienteringsoperatorn kan erhållas genom de tidigare nämnda statistiska och biofysiska metoderna, kan fördelningen av reaktionsoperatorerna uppskattas från statistiken för in vitro -experiment, till exempel.

BIO-LGCA-modeller har använts för att studera flera cellulära, biofysiska och medicinska fenomen. Några exempel inkluderar:

• Angiogenes : ett in vitro-experiment med endotelceller och observerbara BIO-LGCA-simuleringsobjekt jämfördes för att bestämma de processer som är involverade under angiogenes och deras vikt. De fann att vidhäftning, anpassning, kontaktvägledning och ECM- ombyggnad alla är involverade i angiogenes, medan långväga interaktioner inte är avgörande för processen.
• Aktiva vätskor : de makroskopiska fysikaliska egenskaperna hos en population av partiklar som interagerar genom polära inriktningsinteraktioner undersöktes med hjälp av en BIO-LGCA-modell. Det visade sig att ökande initial partikeldensitet och interaktionsstyrka resulterar i en andra ordningens fasövergång från ett homogent, oordnat tillstånd till ett ordnat, mönstrat, rörligt tillstånd.
• Epidemiologi : en rumslig SIR BIO-LGCA-modell användes för att studera effekten av olika vaccinationsstrategier och effekten av att approximera en rumslig epidemi med en icke-spatial modell. De fann att vaccinationsstrategier av barriärtyp är mycket effektivare än spatialt enhetliga vaccinationsstrategier. Dessutom fann de att icke-spatiala modeller kraftigt överskattar infektionshastigheten.
• Cellstörning : in vitro- och Bio-LGCA-modeller användes för att studera metastaserande beteende vid bröstcancer. BIO-LGCA-modellen avslöjade att metastaser kan uppvisa olika beteenden, såsom slumpmässiga gasliknande, fastklämda fastliknande och korrelerade vätskeliknande tillstånd, beroende på vidhäftningsnivån bland celler, ECM-densitet och cell-ECM-interaktioner.

externa länkar

• Bio-LGCA Simulator - En onlinesimulator med elementära interaktioner med anpassningsbara parametervärden.
• BIO-LGCA Python Package - Ett Python-paket med öppen källkod för implementering av BIO-LGCA-modellsimuleringar.