Avskärmad Poisson-ekvation

Inom fysik är den avskärmade Poisson-ekvationen en Poisson-ekvation , som uppstår i (till exempel) Klein–Gordon-ekvationen , elektrisk fältscreening i plasma och icke-lokal granulär fluiditet i granulärt flöde .

Uttalande av ekvationen

Ekvationen är

$\left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf { r} ),$

där $\Delta$ är Laplace-operatorn , λ är en konstant som uttrycker "screeningen", f är en godtycklig funktion av position (känd som "källfunktionen") och u är funktionen som ska bestämmas.

I det homogena fallet ( f =0) är den screenade Poisson-ekvationen densamma som den tidsoberoende Klein–Gordon-ekvationen . I det inhomogena fallet är den skärmade Poisson-ekvationen mycket lik den inhomogena Helmholtz-ekvationen , den enda skillnaden är tecknet inom parentesen.

Elektrostatik

Vid screening av elektriska fält skrivs skärmad Poisson-ekvation för den elektriska potentialen $\phi (\mathbf {r} )$ vanligtvis som (SI-enheter)

$\left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r}) =-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},$

där $k_{0}^{-1}$ är skärmlängden, $\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$ är laddningstätheten som produceras av ett externt fält i frånvaro av screening och $\epsilon _{0}$ är vakuumpermittiviteten . Denna ekvation kan härledas i flera screeningsmodeller som Thomas–Fermi screening i fasta tillståndets fysik och Debye-screening i plasma .

Lösningar

Tre dimensioner

Utan förlust av generalitet kommer vi att ta λ för att vara icke-negativ. När λ är noll reduceras ekvationen till Poissons ekvation . Därför, när λ är mycket liten, närmar sig lösningen den för den oskärmade Poisson-ekvationen, som, i dimension $n=3$ , är en överlagring av 1/ r funktioner viktade av källfunktionen f :

$u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ') }{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$

Å andra sidan, när λ är extremt stort, närmar sig u värdet f / λ ² , som går till noll när λ går till oändligheten. Som vi kommer att se, uppträder lösningen för mellanvärden av λ som en överlagring av skärmade (eller dämpade) 1/ r -funktioner, med λ som uppträder som styrkan av skärmningen.

Den skärmade Poisson-ekvationen kan lösas för allmän f med metoden för Greens funktioner . Grönas funktion G definieras av

$\left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r})=-\delta ^{ 3}(\mathbf {r} ),$

där δ ³ är en deltafunktion med enhetsmassa koncentrerad vid ursprunget för R ³ .

Om vi ​​antar att u och dess derivator försvinner i stort r , kan vi utföra en kontinuerlig Fouriertransform i rumsliga koordinater:

$G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf { r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

där integralen tas över allt utrymme. Då är det enkelt att visa det

$\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.$

Grönas funktion i r ges därför av den inversa Fouriertransformen,

$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\ frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Denna integral kan utvärderas med användning av sfäriska koordinater i k -rymden. Integrationen över vinkelkoordinaterna är enkel, och integralen reduceras till en över det radiella vågnumret $k_{r}$ :

$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r }\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Detta kan utvärderas med hjälp av konturintegration . Resultatet är:

$G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.$

Lösningen på hela problemet ges sedan av

$u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')= \int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} - \mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').$

Som nämnts ovan är detta en överlagring av screenade 1/ r -funktioner, viktade av källfunktionen f och med λ som fungerar som styrkan för screeningen. Den skärmade 1/ r -funktionen påträffas ofta inom fysiken som en skärmad Coulomb-potential, även kallad en " Yukawa-potential ".

Två dimensioner

I två dimensioner: I fallet med en magnetiserad plasma är den skärmade Poisson-ekvationen kvasi-2D:

$\left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\ höger)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })$

med $\Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }$ och ${\displaystyle \perpbla _ }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla } ,$ med $\mathbf {B}$ är magnetfältet och ${\displaystyle \rho } ($ jon) Larmorradie . Den tvådimensionella Fourier-transformen av den associerade gröna funktionen är:

$G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{ \perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.$

Den 2D-skärmade Poisson-ekvationen ger:

$\left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right) G(\mathbf {k} _{\perp })=1$ .

Greenens funktion ges därför av den inversa Fouriertransformen :

$G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\ ;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{ 2}}}.$

Denna integral kan beräknas med polära koordinater i k-rymden :

$\mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r} \sin(\theta ))$

Integrationen över vinkelkoordinaten ger en Bessel-funktion och integralen reduceras till en över det radiella vågnumret $k_{r}$ :

$G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{ r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}} ={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).$

Anslutning till Laplace-distributionen

Greenens funktioner i både 2D och 3D är identiska med sannolikhetstäthetsfunktionen för den multivariata Laplace-fördelningen för två respektive tre dimensioner.

Se även

• Yukawa interaktion