Artinska ideal

I abstrakt algebra påträffas ett artiniskt ideal , uppkallat efter Emil Artin , i ringteorin , i synnerhet med polynomringar .

Givet en polynomring R = k [ X ₁ , ... X _n ] där k är något fält , är ett artiniskt ideal ett ideal I i R för vilket Krull-dimensionen för kvotringen R / I är 0. Dessutom är mindre precis, man kan tänka på ett artiniskt ideal som ett som har åtminstone varje obestämd i R upphöjd till en effekt större än 0 som en generator.

Om ett ideal inte är artiniskt, kan man ta den artinska stängningen av det enligt följande. Ta först den minsta gemensamma multipeln av idealets generatorer. För det andra, lägg till genereringsuppsättningen av idealet varje obestämd av LCM med dess effekt ökad med 1 om effekten inte är 0 till att börja med. Ett exempel är nedan.

Exempel

Låt $R=k[x,y,z]$ , och låt $I=(x^{2},y^{5},z^{4}),\;J=(x^{3},y ^{2},z^{6},x^{2}yz^{4},yz^{3})$ och $\displaystyle { K=(x^{3},y^{4},x^{2}z^{7})}$ . Här $\displaystyle {I}$ och $\displaystyle {J}$ artinska ideal, men $\displaystyle {K}$ beror inte på att i $\displaystyle {K }$ , den obestämda $\displaystyle {z}$ visas inte ensam för en kraft som en generator.

För att ta den artiniska stängningen av $\displaystyle {K}$ , $\displaystyle {\hat {K}}$ hittar vi LCM för generatorerna av $\displaystyle {K}$ , vilket är $\displaystyle {x^{3}y^{4}z^{7}}$ . Sedan lägger vi till generatorerna $\displaystyle {x^{4},y^{5}}$ och $\displaystyle {z^{8}}$ till ${ \displaystyle \displaystyle {K}}$ , och reducera. Således har vi $\displaystyle {\hat {K}}=(x^{3},y^{4},z^ {8},x^{2}z^{7})$ som är artinisk.

• Sáenz-de-Cabezón Irigaray, Eduardo (2008). "Kombinatorisk Koszul-homologi, beräkningar och tillämpningar". arXiv : 0803.0421 .