Arnold gissningar

Arnold gissningen , uppkallad efter matematikern Vladimir Arnold , är en matematisk gissning inom området symplektisk geometri , en gren av differentialgeometri .

Påstående

Låt $(M,\omega )$ vara ett kompakt symboliskt grenrör . För varje jämn funktion ${\displaystyle H:M\to {\mathbb {R} }} ,$ inducerar den symboliska formen ${\displaystyle \omega } ett$ Hamiltonskt vektorfält $X_{H}$ på $M$ , definierad av identiteten

$\omega (X_{H},\cdot )=dH.$

Funktionen $H$ kallas en Hamiltonsk funktion .

Antag att det finns en 1-parameters familj av Hamilton-funktioner $H_{t}:M\to {\mathbb {R} },0\leq t\leq 1$ , inducering av en 1-parametersfamilj av Hamiltonska vektorfält $X_{H_{t}}$ på $M$ . Familjen vektorfält integreras med en 1-parameters familj av diffeomorfismer $\varphi _{t}:M\to M$ . Varje individ av $\varphi _{t}$ är en Hamiltonsk diffeomorfism av $M$ .

Arnolds gissning säger att för varje Hamiltonsk diffeomorfism av $M$ har den minst lika många fixpunkter som en jämn funktion på $M$ har kritiska punkter.

Icke degenererad Hamiltonian och svag Arnold gissning

En Hamiltonsk diffeomorfism $\varphi :M\to M$ kallas icke degenererad om dess graf skär diagonalen för ${\displaystyle M\x M} på tvären$ . För icke degenererade Hamiltonska diffeomorfismer säger en variant av Arnolds gissning att antalet fasta punkter är åtminstone lika med det minimala antalet kritiska punkter för en morsefunktion på M { $displaystyle M} ,$ kallat morsetalet för $M$ .

Med tanke på morseolikheten är morsetalet också större än eller lika med en homologisk invariant av $M$ , till exempel summan av Betti-tal över ett fält ${\mathbb {F} }$ :

$\sum _{i=0}^{2n}{\rm {dim}}H_{i}(M;{\mathbb {F} }).$

Den svaga Arnold gissningen säger att för en icke degenererad Hamiltonsk diffeomorfism på $M$ är det ovanstående heltal en nedre gräns för dess antal fixpunkter.