Arnold diffusion

I tillämpad matematik , är Arnold diffusion fenomenet instabilitet av integrerbara Hamiltonian system . Fenomenet är uppkallat efter Vladimir Arnold som var den förste att publicera ett resultat på området 1964. Närmare bestämt hänvisar Arnold diffusion till resultat som hävdar existensen av lösningar på nästan integrerbara Hamiltonian-system som uppvisar en signifikant förändring i aktionsvariablerna.

Arnold diffusion beskriver spridningen av banor på grund av den ergodiska satsen i en del av fasutrymmet obundet av några begränsningar ( dvs. obegränsat av Lagrangian tori som härrör från rörelsekonstanter ) i Hamiltonska system . Det förekommer i system med mer än N = 2 frihetsgrader, eftersom de N -dimensionella invarianta tori inte längre separerar det 2 N -1 dimensionella fasutrymmet. Således kan en godtyckligt liten störning få ett antal banor att vandra pseudo-slumpmässigt genom hela delen av fasutrymmet som lämnas av den förstörda tori.

Bakgrund och uttalande

För integrerbara system har man bevarandet av åtgärdsvariablerna . Enligt KAM-satsen om vi stör ett integrerbart system något, så förblir många, men absolut inte alla, av lösningarna i det störda systemet nära, för alltid, det opåverkade systemet. I synnerhet, eftersom aktionsvariablerna ursprungligen bevarades, säger satsen oss att det bara finns en liten förändring i verkan för många lösningar av det störda systemet.

Men, som först noterades i Arnolds artikel, finns det nästan integrerbara system för vilka det finns lösningar som uppvisar godtyckligt stor tillväxt i handlingsvariablerna. Närmare bestämt betraktade Arnold exemplet på ett nästan integrerbart Hamiltonian-system med Hamiltonian

H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1 )+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}

De tre första termerna i denna Hamiltonian beskriver ett rotator-pendelsystem. Arnold visade att för detta system, för alla val av ${\displaystyle I_{+}>I_{-}>0} ,$ och för $0<\mu \ll \epsilon \ll 1$ , det finns en lösning på systemet för vilket

I(0)<I_{-}{\text{ och }}I(T)>I_{+}

under en tid $T\gg 0.$

Hans bevis förlitar sig på existensen av "övergångskedjor" av "whisked" tori, det vill säga sekvenser av tori med transitiv dynamik så att det instabila grenröret (whisker) för en av dessa tori tvärs skär det stabila grenröret ( whisker) i nästa ett. Arnold antog att "mekanismen för 'övergångskedjor' som garanterar att instabilitet i vårt exempel också är tillämplig på det allmänna fallet (till exempel på problemet med tre organ)."

En bakgrund om KAM-satsen finns i och ett kompendium med rigorösa matematiska resultat, med insikter från fysiken, finns i.

Allmänt fall

I Arnolds modell är störningstermen av en speciell typ. Det allmänna fallet med Arnolds diffusionsproblem gäller Hamiltonska system av en av formerna

H_{\epsilon }(I,\phi ,p ,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)

där $(I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^ {m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}$ , $m,n\geq 1$ , och $H_{0}(I,p,q)$ beskriver ett rotator-pendelsystem, eller

H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{ 1}(I,\phi ,t)

där $(I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N} \times \mathbb {T} ^{1}$ , $N\geq 2.$

För system som i (1) har den oberörda Hamiltonian jämna familjer av invarianta tori som har hyperboliska stabila och instabila grenrör; sådana system kallas a priori instabila . För system som i (2) är fasutrymmet för den opåverkade Hamiltonian folierad av Lagrangian invariant tori; sådana system kallas a priori stabila . I båda fallen hävdar Arnold-diffusionsproblemet att det för "generiska" system finns $\rho >0$ så att det för varje ${\displaystyle \epsilon >0} som är$ tillräckligt liten finns lösningskurvor för som

\|I(T)-I(0)\|\geq \rho

under en tid $T\gg 0.$ Exakta formuleringar av möjliga genericitetsförhållanden i samband med a priori instabilt och a priori stabilt system kan hittas i respektive. Informellt säger Arnolds diffusionsproblem att små störningar kan ackumuleras till stora effekter.

Nya resultat i det a priori instabila fallet inkluderar och i det a priori stabila fallet.

I samband med det begränsade trekroppsproblemet kan Arnold-diffusion tolkas i den meningen att det för alla tillräckligt små värden som inte är noll för excentriciteten hos de massiva kropparnas elliptiska banor finns lösningar längs vilka energin av den försumbara massan förändras med en kvantitet som är oberoende av excentricitet.

Se även