Appell-Humberts sats

Inom matematik beskriver Appell -Humbert-satsen linjebuntarna på en komplex torus eller komplex abelsk variant . Det bevisades för tvådimensionell tori av Appell ( 1891 ) och Humbert ( 1893 ), och i allmänhet av Lefschetz ( 1921 )

Påstående

Antag att $T$ är en komplex torus som ges av $V/\Lambda$ där $\Lambda$ är ett gitter i ett komplext vektorrum $V$ . Om $H$ är en hermitisk form på $V$ vars imaginära del $E={\text{Im}}(H)$ är integral på $\Lambda \times \Lambda$ , och $\alpha$ är en karta från $\Lambda$ till enhetscirkeln ${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}} ,$ kallad ett halvtecken , så att

\alpha (u+v)=e^{i\pi E(u,v)}\alpha (u)\alfa (v)\

sedan

\alpha (u)e^{\pi H(z,u)+H(u,u)\pi /2}\

är en 1- samcykel av $\Lambda$ som definierar en linjebunt på $T$ . För den triviala hermitiska formen reduceras detta bara till en karaktär . Observera att utrymmet för karaktärsmorfismer är isomorft med en riktig torus

${\text{Hom}}_{\textbf {Ab}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb { R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}$

om $\Lambda \cong \mathbb {Z} ^{2n}$ eftersom alla sådana tecken påverkar $\mathbb {R}$ sammansatt med den exponentiella kartan. Det vill säga ett tecken är en karta över formen

${\text{exp}}(2\pi i\langle l^{*},-\rangle )$

för någon kovektor $l^{*}\in V^{*}$ . Periodiciteten för ${\text{exp}}(2\pi if(x))$ för en linjär $f(x)$ ger isomorfism av karaktärsgruppen med den verkliga torus som ges ovan. Faktum är att denna torus kan utrustas med en komplex struktur, vilket ger den dubbla komplexa torusen .

Explicit kan en linjebunt på $T=V/\Lambda$ konstrueras genom nedstigning från en linjebunt på $V$ (vilket nödvändigtvis är trivialt) och en nedstigningsdata , nämligen en kompatibel samling av isomorfismer ${\displaystyle u^{*}{\mathcal {O}}_{V}\to {\mathcal {O}}_{V}} , en$ för varje $u\in U$ . Sådana isomorfismer kan presenteras som icke-försvinnande holomorfa funktioner på $V$ , och för varje $u$ är uttrycket ovan en motsvarande holomorf funktion.

Appell–Humbert-satsen ( Mumford 2008 ) säger att varje linjebunt på $T$ kan konstrueras så här för ett unikt val av $H$ och $\alpha$ som uppfyller villkoren ovan.

Rikliga linjebuntar

Lefschetz bevisade att linjebunten $L$ , associerad med den hermitiska formen $H$ är riklig om och endast om $H$ är positiv definitiv, och i detta fall $L^{\otimes 3}$ är mycket gott. En konsekvens är att den komplexa torusen är algebraisk om och endast om det finns en positiv bestämd hermitisk form vars imaginära del är integral på $\Lambda \times \Lambda$

Se även

Komplex torus för en behandling av satsen med exempel

Appell, P. (1891), "Sur les functiones périodiques de deux variables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 7 : 157–219
Humbert, G. (1893), "Théorie générale des surfaces hyperelliptiques" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 9 : 29–170, 361–475
Lefschetz, Solomon (1921), "On Certain Numerical Invariants of Algebraic Varieties with Application to Abelian Varieties", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 22 (3): 327–406, doi : 10.2307/ 1988897 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988897
Lefschetz, Solomon (1921), "On Certain Numerical Invariants of Algebraic Varieties with Application to Abelian Varieties", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 22 (4): 407–482, doi : 10.2307/ 1988964 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988964
Mumford, David (2008) [1970], Abelian varianter , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 5, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-81-85931-86-9 , MR 0282985 , OCLC 138290