Annulussats

Inom matematiken säger annulussatsen (tidigare kallad annulusförmodan ) ungefär att området mellan två väluppfostrade sfärer är en annulus . Det är nära besläktat med den stabila homeomorfismförmodan (nu bevisad) som säger att varje orienteringsbevarande homeomorfism i det euklidiska rummet är stabil.

Påstående

Om S och T är topologiska sfärer i det euklidiska rymden, med S som finns i T , så är det inte sant i allmänhet att området mellan dem är en annulus , på grund av förekomsten av vilda sfärer i dimensionen minst 3. Så annulussatsen måste anges för att utesluta dessa exempel, genom att lägga till något villkor för att säkerställa att S och T sköter sig väl. Det finns flera sätt att göra detta.

Annulussatsen säger att om någon homeomorfism h av R ⁿ till sig själv mappar enhetskulan B i dess inre, så är B − h (inre( B )) homeomorf till annulus S ^{n −1} ×[0,1].

Bevisets historia

Annulussatsen är trivial i dimensionerna 0 och 1. Den bevisades i dimension 2 av Radó (1924) , i dimension 3 av Moise (1952) , i dimension 4 av Quinn (1982) och i dimensioner minst 5 av Kirby ( 1969) .

Torus trick

Robion Kirbys torustrick är en bevismetod som använder en nedsänkning av en punkterad torus $\mathbb {T} ^{n}-\mathbb {D} ^{n}$ i ${\ displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , där sedan släta strukturer kan dras bakåt längs nedsänkningen och lyftas till omslag. Torustricket används i Kirbys bevis på annulussatsen i dimensioner $n\geq 5$ . Det användes också i ytterligare undersökningar av topologiska grenrör med Laurent C. Siebenmann

Här är en lista över några ytterligare tillämpningar av torustricket som förekom i litteraturen:

Bevisa existens och unikhet (upp till isotopi) av släta strukturer på ytor
Bevisa existens och unikhet (upp till isotopi) av PL-strukturer på 3-grenrör

Den stabila homeomorfism gissningen

En homeomorfism av Rn kallas stabil om den är en produkt av homeomorfismer som var och en är identiteten på någon icke-tom öppen uppsättning ^. Den stabila homeomorfism-förmodan säger att varje orienteringsbevarande homeomorfism av Rn är stabil ^. Brown & Gluck (1964) har tidigare visat att den stabila homeomorfismförmodan är likvärdig med annulusförmodan, så det är sant.

Brown, Morton; Gluck, Herman (1964), "Stable structures on manifolds. II. Stable manifolds.", Annals of Mathematics , Second Series, 79 (1): 18–44, doi : 10.2307/1970481 , ISSN 0003-486X , JSTOR 9 , 70482 9 MR 0158383
Edwards, Robert D. (1984), "The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (efter Frank Quinn)", Fyrmanifold teori (Durham, NH, 1982) , Contemp. Math., vol. 35, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 211–264, doi : 10.1090/conm/035/780581 , ISBN 9780821850336 , MR 0780581
Kirby, Robion C. (1969), "Stable homeomorphisms and the annulus conjecture", Annals of Mathematics , Second Series, 89 (3): 575–582, doi : 10.2307/1970652 , ISSN 0003-486X , JSTOR 621X , 06521 9 , 06 521 9
Moise, Edwin E. (1952), "Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung", Annals of Mathematics , Second Series, 56 (1): 96–114, doi : 10.2307/19697009 , ISSN 0009 -486X , JSTOR 1969769 , MR 0048805
Quinn, Frank (1982), "Ends of maps. III. Dimensions 4 and 5" , Journal of Differential Geometry , 17 (3): 503–521, doi : 10.4310/jdg/1214437139 , ISSN 00022-049 , 7MR 00022-04
Radó, T. (1924), "Über den Begriff der Riemannschen Fläche", Acta Univ. Szeged , 2 : 101–121

Vidare läsning