Analytiskt oförgrenad ring

I algebra är en analytiskt oframifierad ring en lokal ring vars komplettering är reducerad (har ingen nilpotent som inte är noll ).

Följande ringar är analytiskt oframifierade:

• pseudo-geometrisk reducerad ring.
• utmärkt reducerad ring.

Chevalley (1945) visade att varje lokal ring av en algebraisk sort är analytiskt oframifierad. Schmidt (1936) gav ett exempel på en analytiskt förgrenad reducerad lokal ring. Krull visade att varje 1-dimensionell normal Noether- lokal ring är analytiskt oframifierad; närmare bestämt visade han att en 1-dimensionell normal noeterisk lokal domän är analytiskt oframifierad om och endast om dess integrerade stängning är en finit modul. Detta fick Zariski (1948) att fråga huruvida en lokal Noetherian domän så att dess integrerade stängning är en finit modul alltid är analytiskt oframifierad. Men Nagata (1955) gav ett exempel på en 2-dimensionell normal analytiskt förgrenad Noetherian lokal ring. Nagata visade också att en något starkare version av Zariskis fråga är korrekt: om normaliseringen av varje finit förlängning av en given Noetherisk lokal ring R är en finit modul, så är R analytiskt oframifierad.

Det finns två klassiska teorem av David Rees ( 1961 ) som kännetecknar analytiskt oförgrenade ringar. Den första säger att en Noethersk lokal ring ( R , m ) är analytiskt oframifierad om och endast om det finns ett m -primärt ideal J och en sekvens $n_{j}\to \infty$ så att ${\displaystyle {\overline {J^{j}}}\subset J^{n_{j}}} ,$ där stapeln betyder den integrerade stängningen av ett ideal . Den andra säger att en noethersk lokal domän är analytiskt oframifierad om och endast om, för varje ändligt genererad R - algebra S som ligger mellan R och fältet av bråken K av R , den integrerade stängningen av S i K är en ändligt genererad modul över S . Den andra följer av den första.

Nagatas exempel

₀₀ Låt K vara ett perfekt fält med egenskap 2, såsom F ₂ . Låt K vara K ({ u _n , v _n : n ≥ 0}), där u _n och v _n är obestämda. Låt T vara subringen av den formella potensserieringen K [[ x , y ]] som genereras av K och K ² [[ x , y ]] och elementet Σ( u _n x ⁿ + v _n y ⁿ ). Nagata bevisar att T är en normal lokal nothersk domän vars komplettering har icke-noll nilpotenta element, så T är analytiskt förgrenad.

•    Chevalley, Claude (1945), "Skärningar mellan algebraiska och algebroida varianter", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 57 : 1–85, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0012458-1 , JSTOR 1990167 , MR 0012458
•    Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral stängning av ideal, ringar och moduler , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 336, Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4 , MR 2266432
•   Nagata, Masayoshi (1955), "Ett exempel på normal lokal ring som är analytiskt förgrenad", Nagoya Math. J. , 9 : 111-113, MR 0073572
•   Rees, D. (1961), "A not on analytically unramified local rings", J. London Math. Soc. , 36 : 24-28, MR 0126465
• Schmidt, Friedrich Karl (1936), "Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 41 (1): 443–450, doi : 10.1007/BF01180433
•   Zariski, Oscar (1948), "Analytisk oreducerbarhet av normala sorter", Ann. av matte. , 2, 49 : 352–361, doi : 10.2307/1969284 , MR 0024158
•    Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1960], Kommutativ algebra. Vol. II , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , MR 0389876