Amplitwist

Inom matematik är amplitwist ett koncept skapat av Tristan Needham i boken Visual Complex Analysis ( 1997) för att visuellt representera derivatan av en komplex funktion.

Definition

Amplitwist förknippad med en given funktion är dess derivata i det komplexa planet . Mer formellt är det ett komplext tal $z$ så att i ett oändligt litet område av en punkt $a$ i det komplexa planet, $f(\xi ) =z\xi$ för en oändligt liten vektor $\xi$ . Det komplexa talet $z$ definieras som derivatan av $f$ vid $a$ .

Används

Konceptet med en amplitwist används främst i komplex analys för att erbjuda ett sätt att visualisera derivatan av en komplext värderad funktion som en lokal förstärkning och vridning av vektorer vid en punkt i det komplexa planet.

Exempel

Definiera funktionen $f(z)=z^{3}$ . Betrakta derivatan av funktionen i punkten $e^{i{\frac {\pi }{4}}}$ . Eftersom derivatan av $f(z)$ är $3z^{2}$ , kan vi säga att för en infinitesimal vektor $\gamma$ vid $e^{i{\frac {\pi }{4}}}$ , $f(\gamma ) =3(e^{i{\frac {\pi }{4}}})^{2}\gamma =3e^{i{\frac {\pi}{2}}}\gamma$