Alternerande plan algebra

Konceptet med alternerande plana algebror dök först upp i Hernando Burgos-Sotos arbete på Jones polynom av alternerande tovor. Alternerande plana algebror tillhandahåller ett lämpligt algebraiskt ramverk för andra knutinvarianter i de fall de element som är involverade i beräkningen alternerande. Konceptet har använts för att utsträcka vissa egenskaper hos Jones polynom och Khovanov-homologi av alternerande länkar till härvor.

Definition

En alternerande plan algebra är en orienterad plan algebra , där $d$ -ingången planar bågdiagram $D$ uppfyller följande villkor:

• Antalet $k$ för strängar som slutar på den yttre gränsen för $D$ är större än 0.
• Det finns fullständig anslutning mellan ingångsskivorna i diagrammet och dess bågar, nämligen föreningen av diagrambågarna och gränsen för de inre hålen är en ansluten uppsättning.
• In- och ut-strängarna alternerar i varje gränskomponent i diagrammet.

Ett planarbågsdiagram som detta har benämnts typ- $A$ plandiagram.

Ansökningar

Det finns två kända tillämpningar av begreppet alternerande plan algebra.

• Den användes för att utöka till trassel egenskapen som säger att Jones-polynomet för en alternerande länk är ett alternerande polynom.
• Det användes för att utvidga till trassel ett resultat om Khovanov-homologin som säger att Khovanov-homologin för en alternerande länk stöds i två rader.