Agmons ojämlikhet

I matematisk analys består Agmons ojämlikheter , uppkallade efter Shmuel Agmon , av två närbesläktade interpolationsolikheter mellan Lebesgue-utrymmet $L^{\infty }$ och Sobolev-utrymmena $H^{s}$ . Det är användbart vid studiet av partiella differentialekvationer .

Låt $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ där ${ \displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$ . Sedan anger Agmons ojämlikheter i 3D att det finns en konstant $C$ så att

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^ {1/2},$

och

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\ |u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.$

I 2D gäller fortfarande den första olikheten, men inte den andra: låt $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^ {1}(\Omega )$ där $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ . Sedan anger Agmons olikhet i 2D att det finns en konstant $C$ så att

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\ |u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.$

För det $n$ -dimensionella fallet, välj $s_{1}$ och $s_{2}$ så att $s_{1 }<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}$ . Sedan, om $0<\theta <1$ och ${\tfrac {n}{2}}=\theta s_{ 1}+(1-\theta )s_{2}$ , följande olikhet gäller för alla $u\in H^{s_{2}}(\Omega )$

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }} (\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\ Omega )}^{1-\theta }$

Se även

• Ladyzhenskaya ojämlikhet
• Ojämlikhet mellan Brezis och Gallouet

Anteckningar

•   Agmon, Shmuel (2010). Föreläsningar om elliptiska gränsvärdesproblem . , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-4910-1 .
•   Foias, Ciprian; Manley, O.; Rosa, R.; Temam, R. (2001). Navier-Stokes ekvationer och turbulens . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36032-3 .