Affin Grassmannian (manifold)

Inom matematiken finns det två distinkta betydelser av termen affin Grassmannian . I det ena är det mångfalden av alla k -dimensionella affina delrum av R ⁿ (beskrivna på denna sida), medan den affina Grassmannian i den andra är en kvot av en gruppring baserad på formell Laurent-serie.

Formell definition

Givet ett ändligt dimensionellt vektorrum V och ett icke-negativt heltal k , då är Graff _k ( V ) det topologiska rummet för alla affina k -dimensionella delrum av V .

Den har en naturlig projektion p :Graff _k ( V ) → Gr _k ( V ), Grassmannian av alla linjära k -dimensionella delrum av V genom att definiera p ( U ) för att vara translationen av U till ett delrum genom origo . Denna projektion är en fibrering, och om V ges en inre produkt kan fibern som innehåller U identifieras med $p(U)^{\perp }$ , det ortogonala komplementet till p ( U ) . Fibrerna är därför vektorrum, och projektionen p är en vektorbunt över Grassmannian , som definierar mångfaldsstrukturen på Graff _k ( V ).

Som ett homogent utrymme kan den affina Grassmannian för ett n -dimensionellt vektorrum V identifieras med

${\displaystyle \mathrm {Graff} _{k}(V)\simeq {\frac {E(n$

där E ( n ) är den euklidiska gruppen av Rn och O( ^m ) är den ortogonala gruppen på Rm ^. Därav följer att dimensionen ges av

$\dim \left[\mathrm {Graff} _{k}(V)\right]=(nk)(k+1)\,.$

(Detta samband är lättare att härleda från identifieringen av nästa avsnitt, som skillnaden mellan antalet koefficienter, ( n − k )( n +1) och dimensionen av den linjära grupp som verkar på ekvationerna, ( n − k ) ^2. )

Släktskap med vanlig Grassmann

Låt ( x ₁ ,..., x _n ) vara de vanliga linjära koordinaterna på R ⁿ . Sedan Rn inbäddad i Rn ^{+ 1} som det affina hyperplanet xn _{+ 1} = 1. De k -dimensionella affina delrymden av Rn är ⁱ en-till-en-överensstämmelse med de ( ^k + 1 ) -dimensionella linjära delrymden av R ^{n +1} som är i allmän position med avseende på planet x _{n +1} = 1. I själva verket är ett k -dimensionellt affint delrum av R ⁿ platsen för lösningar av ett rang n − k system av affina ekvationer

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}\\&\vdots &\\a_{nk ,1}x_{1}+\cdots +a_{nk,n}x_{n}&=a_{nk,n+1}.\end{aligned}}$

Dessa bestämmer ett rang n − k system av linjära ekvationer på R ^{n +1}

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}x_{n+1}\\&\vdots &\\a_{nk,1}x_{1}+\cdots +a_{nk,n}x_{n}&=a_{nk,n+1}x_{n+1}.\end{aligned}}$

vars lösning är ett ( k + 1)-plan som, när det skärs med x _{n +1} = 1, är det ursprungliga k -planet.

På grund av denna identifiering är Graff( k , n ) en Zariski öppen uppsättning i Gr( k + 1, n + 1).

• Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introduction to Geometric Probability , Cambridge: Cambridge University Press