Abel elliptiska funktioner

Inom matematiken är Abel elliptiska funktioner en speciell typ av elliptiska funktioner , som etablerades av den norske matematikern Niels Henrik Abel . Han publicerade sin artikel "Recherches sur les Fonctions elliptices" i Crelle's Journal 1827. Det var det första arbetet om elliptiska funktioner som faktiskt publicerades. Abels arbete med elliptiska funktioner påverkade också Jacobis studier av elliptiska funktioner, vars 1829 publicerade bok " Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" blev standardverket om elliptiska funktioner.

Historia

Abels utgångspunkt var de elliptiska integralerna som hade studerats i detalj av Adrien-Marie Legendre . Han började sin forskning 1823 när han fortfarande var student. I synnerhet såg han dem som komplexa funktioner som vid den tiden fortfarande var i sin linda. Under de följande åren fortsatte Abel att utforska dessa funktioner. Han försökte också generalisera dem till funktioner med ännu fler perioder, men verkade inte ha bråttom med att publicera sina resultat.

Men i början av året 1827 skrev han tillsammans sin första, långa presentation Recherches sur les fonctions elliptiques av sina upptäckter. I slutet av samma år blev han medveten om Carl Gustav Jacobi och hans arbeten om nya transformationer av elliptiska integraler. Abel avslutar sedan en andra del av sin artikel om elliptiska funktioner och visar i en appendix hur transformationsresultaten av Jacobi lätt skulle följa. När han sedan ser nästa publikation av Jacobi där han använder sig av elliptiska funktioner för att bevisa sina resultat utan att hänvisa till Abel, finner den norska matematikern sig vara i en kamp med Jacobi över prioritet. Han avslutar flera nya artiklar om relaterade frågor, som nu för första gången daterar dem, men dör mindre än ett år senare 1829. Under tiden avslutar Jacobi sitt stora verk Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum om elliptiska funktioner som visas samma år som en bok. Det slutade med att definiera vad som skulle vara standardformen för elliptiska funktioner under åren som följde.

Härledning från elliptiska integraler

Betrakta den elliptiska integralen av det första slaget i följande symmetriska form:

$\alpha (x):=\int _{0}^{x}{\frac { \mathrm {d} t}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}$ med ${ \displaystyle c,e\in \mathbb {R} }$ .

$\alpha$ är en udda ökande funktion på intervallet ${\bigl [}{-{\tfrac {1}{c}}},{\tfrac {1 }{c}}{\bigr ]}$ med maximalt:

${\omega \over 2}:=\int _{0}^{1/c}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1 +e^{2}t^{2})}}}.$

Det betyder att $\alpha$ är inverterbar: Det finns en funktion $\varphi$ så att $x=\varphi (\alpha (x))$ , vilket är väldefinierat på intervallet ${\bigl [}{-{\tfrac {\omega }{2}}},{\tfrac {\omega }{2}} {\bigr ]}$ .

Liksom funktionen $\alpha$ beror den på parametrarna $c$ och $e$ som kan uttryckas genom att skriva $\varphi (u ;e,c)$ .

Eftersom $\alpha$ är en udda funktion, är $\varphi$ också en udda funktion som betyder $\varphi (-u)=-\ varphi (u)$ .

Genom att ta derivatan med avseende på $u$ får man:

$\varphi '(u)={\sqrt {(1-c^{2} \varphi ^{2}(u))(1+e^{2}\varphi ^{2}(u))}}$

som är en jämn funktion, dvs $\varphi (-u)=\varphi (u)$ .

Abel introducerade de nya funktionerna

$f(u)={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}$ .

Därmed gäller att $\varphi '(u)=f(u)F(u)$ .

$\varphi$ , $f$ och $F$ är de funktioner som kallas Abel elliptiska funktioner. De kan fortsättas med hjälp av additionssatserna.

Om man till exempel lägger till $\pm {\tfrac {1}{2}}\omega$ får man:

$\varphi {\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\pm {1 \över c}{f(u) \över F(u)},\quad$$f{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\mp {\sqrt {c^{2}+e ^{2}}}{\varphi (u) \over F(u)},\;\;F{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \över c}{1 \över F(u)}$ .

Komplex förlängning

$\varphi$ kan fortsätta på rent imaginära tal genom att introducera substitutionen $t\rightarrow it$ . Man får $xi=\varphi (\beta i)$ , där

$\beta (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}$ .

$\beta$ är en ökande funktion på intervallet ${\bigl [}{-{\tfrac {1}{e}}},{\tfrac {1} {e}}{\bigr ]}$ med max

${\frac {\tilde {\omega }}{2}}:=\int _{ 0}^{\frac {1}{e}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2} t^{2})}}}$ .

Det betyder att $\varphi$ , $f$ och $F$ är kända längs de reella och imaginära axlarna. Genom att använda additionssatserna igen kan de utökas till det komplexa planet.

Till exempel för $\alpha \in {\bigl [}{-{\tfrac {\omega }{2}}},{\tfrac {\omega }{2} }{\bigr ]}$ ger efter

$\varphi (\alpha + {\tfrac {1}{2}}{\tilde {\omega }}i)={\frac {\varphi (\alpha )f({\tfrac {1}{2}}{\tilde {\omega } }i)F({\tfrac {1}{2}}{\tilde {\omega }}i)+\varphi ({\tfrac {1}{2}}{\tilde {\omega }}i)f (\alpha )F(\alpha )}{1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}({\tfrac {1}{2}} {\tilde {\omega }}i)}}={\frac {{\frac {i}{e}}f(\alpha )F(\alpha )}{1+c^{2}e^{2 }\varphi ^{2}(\alpha ){\frac {i^{2}}{e^{2}}}}}={\frac {i}{e}}{\frac {f(\alpha )F(\alpha )}{1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}={\frac {i}{e}}{\frac {f(\alpha )F(\ alpha )}{f^{2}(\alpha )}}={\frac {i}{e}}{\frac {F(\alpha )}{f(\alpha )}}$ .

Dubbel periodicitet och poler

Periodiciteten för $\varphi$ , $f$ och $F$ kan visas genom att tillämpa additionssatserna flera gånger. Alla tre funktionerna är dubbelt periodiska vilket betyder att de har två $\mathbb {R}$ -linjära oberoende perioder i det komplexa planet:

$\varphi (\alpha +2\omega )=\varphi ( \alpha )=\varphi (\alpha +2{\tilde {\omega }}i)=\varphi (\alpha +\omega +{\tilde {\omega }}i)$

$f(\alpha +2\omega )=f(\alpha )=f(\alpha +{\tilde {\omega }}i)$

$F(\alpha +\omega )=F(\alpha )=F(\alpha +2{\tilde {\omega } }i)$ .

Polerna för funktionerna $\varphi (\alpha )$ , $f(\alpha )$ och $F(\alpha )$ är vid

$\alpha =(m+{\tfrac {1}{2}})\omega +(n+{\tfrac {1} {2}}){\tilde {\omega i}},\quad$ för $m,n\in \mathbb {Z}$ .

Relation till Jacobis elliptiska funktioner

Abels elliptiska funktioner kan uttryckas av Jacobi elliptiska funktioner , som inte beror på parametrarna $c$ och $e$ utan på en modul $k$ :

$\varphi (u;c,e)={\frac {1}{c}}\operatörsnamn {sn} (cu, k)$

$f(u;c,e)=\operatörsnamn {cn} (cu,k)$

$F(u;c,e)=\operatörsnamn {dn} (cu,k)$ ,

där $k={\frac {ie}{c}}$ .

Additionssatser

För funktionerna $\varphi$ , $f$ och $F$ gäller följande additionssatser:

$\varphi (\alpha +\beta )={\frac { \varphi (\alpha )f(\beta )F(\beta )+\varphi (\beta )f(\alpha )F(\alpha )}{R}}$

$f(\alpha +\beta )={\frac {f(\alpha )f(\beta ) -c^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )F(\alpha )F(\beta )}{R}}$

$F(\alpha +\beta )={\frac {F(\alpha )F(\beta )+e^{2 }\varphi (\alpha )\varphi (\beta )f(\alpha )f(\beta )}{R}}$ ,

där $R=1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{ 2}(\beta )$ .

Dessa följer av additionssatserna för elliptiska integraler som Euler redan hade bevisat.

Litteratur

• Niels Henrik Abel, Recherches sur le fonctions elliptices , första och andra delen i Sophus Lie och Ludwig Sylow (red.) Samlade verk , Oslo (1881).
•   Christian Houzel, The Work of Niels Henrik Abel , i OA Laudal och R. Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel – The Abel Bicentennial, Oslo 2002 , Springer Verlag, Berlin (2004). ISBN 3-540-43826-2 .