2-värdig morfism
I matematik är en 2-värdig morfism en homomorfism som skickar en boolesk algebra B till den booleska algebra med två element 2 = {0,1}. Det är i huvudsak samma sak som ett ultrafilter på B , och på ett annat sätt också samma saker som ett maximalideal av B. 2-värderade morfismer har också föreslagits som ett verktyg för att förena fysikens språk.
2-värdiga morfismer, ultrafilter och maximala ideal
Antag att B är en boolesk algebra.
- Om s : B → 2 är en 2-värdig morfism, då är uppsättningen av element av B som skickas till 1 ett ultrafilter på B , och uppsättningen element av B som skickas till 0 är ett maximalt ideal för B .
- Om U är ett ultrafilter på B , så är komplementet av U ett maximalt ideal för B , och det finns exakt en 2-värdig morfism s : B → 2 som skickar ultrafiltret till 1 och det maximala idealet till 0.
- Om M är ett maximalt ideal av B , så är komplementet till M ett ultrafilter på B , och det finns exakt en 2-värdig morfism s : B → 2 som skickar ultrafiltret till 1 och det maximala idealet till 0.
Fysik
Om elementen i B ses som "propositioner om något objekt", så kan en 2-värdig morfism på B tolkas som att representera ett visst "tillstånd för det objektet", nämligen det där propositionerna för B som är mappade till 1 är sanna och propositionerna mappade till 0 är falska. Eftersom morfismen bevarar de booleska operatorerna ( negation , konjunktion , etc.), kommer uppsättningen av sanna propositioner inte att vara inkonsekventa utan kommer att motsvara en viss maximal konjunktion av propositioner, som betecknar (atomär) tillstånd. (De sanna propositionerna bildar ett ultrafilter, de falska propositionerna bildar ett maximalt ideal, som nämnts ovan.)
Övergången mellan två tillstånd s 1 och s 2 av B , representerade av 2-värdiga morfismer, kan sedan representeras av en automorfism f från B till B , så att s 2 o f = s 1 .
De möjliga tillstånden för olika objekt definierade på detta sätt kan tänkas representera potentiella händelser. Uppsättningen av händelser kan sedan struktureras på samma sätt som invarians av kausal struktur, eller lokala-till-globala kausala samband eller till och med formella egenskaper hos globala kausala samband.
Morfismerna mellan (icke-triviala) objekt kan ses som representerande orsakssamband som leder från en händelse till en annan. Till exempel leder morfismen f ovan från händelse s 1 till händelse s 2 . Sekvenserna eller "vägarna" av morfismer för vilka det inte finns någon omvänd morfism, skulle då kunna tolkas som att definiera horismotiska eller kronologiska företrädesrelationer. Dessa relationer skulle sedan bestämma en tidsordning , en topologi och möjligen en metrik .
Enligt "En minimal realisering av en sådan relationellt bestämd rum-tidsstruktur kan hittas". I denna modell finns dock inga explicita distinktioner. Detta motsvarar en modell där varje objekt kännetecknas av endast en distinktion: (närvaro, frånvaro) eller (existens, icke-existens) av en händelse. På detta sätt kan "pilarna" eller det "strukturella språket" sedan tolkas som morfismer som bevarar denna unika distinktion".
Om mer än en distinktion beaktas blir modellen dock mycket mer komplex, och tolkningen av distinktionstillstånd som händelser, eller morfismer som processer, är mycket mindre okomplicerad.