1s Slater-typ funktion

En normaliserad 1s Slater-funktion är en funktion som används i beskrivningarna av atomer och på ett bredare sätt i beskrivningen av atomer i molekyler. Det är särskilt viktigt som den korrekta kvantteoretiska beskrivningen av den minsta fria atomen, väte. Den har formen

$\psi _{1s}(\zeta ,\mathbf {rR} )=\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{1 \over 2}\ ,e^{-\zeta |\mathbf {rR} |}.$

Det är ett speciellt fall av en Slater-typ orbital (STO) där det huvudsakliga kvanttalet n är 1. Parametern $\zeta$ kallas Slater orbital exponent . Relaterade uppsättningar funktioner kan användas för att konstruera STO-nG-basuppsättningar som används inom kvantkemi .

Tillämpningar för väteliknande atomsystem

En väteliknande atom eller en väteatom är en atom med en elektron . Förutom själva väteatomen (som är neutral) bär dessa atomer positiv laddning $e(\mathbf {Z} -1)$ , där $\mathbf {Z}$ är atomens atomnummer . Eftersom väteliknande atomer är tvåpartikelsystem med en interaktion som endast beror på avståndet mellan de två partiklarna, kan deras (icke-relativistiska) Schrödinger-ekvation lösas exakt i analytisk form. Lösningarna är en-elektronfunktioner och kallas väteliknande atomorbitaler . Den elektroniska Hamiltonian (i atomenheter) för ett vätesystem ges av $\mathbf {\hat {H}} _{e}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}$ , där $\mathbf {Z}$ är kärnladdningen i väteatomsystemet. 1s-elektronen i ett vätesystem kan noggrant beskrivas med motsvarande Slater-orbital: ${\displaystyle \mathbf {\psi } _{1s}=\left({\ frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}} , där ζ {\displaystyle \mathbf {\zeta } } är$ Slater $exponenten$ . Detta tillstånd, grundtillståndet, är det enda tillståndet som kan beskrivas av en Slater-orbital. Slaterorbitaler har inga radiella noder, medan väteatomens exciterade tillstånd har radiella noder.

Exakt energi för en väteliknande atom

Energin i ett vätesystem kan beräknas exakt analytiskt enligt följande: ${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}={\frac {\langle \psi _{1s}|\mathbf {\hat {H}} _{e}|\psi _{1s} \rangle }{\langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle }}} ,$ där $\mathbf {\langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle } =1$$\mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle$$\mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {\nabla ^{2}}{2}}|\psi _ {1s}\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle$$\mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {1}{2r^{2}}}{\frac {\ partiell }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)|\psi _{1s}\rangle +\langle \psi _{1s} |-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle$ . Genom att använda uttrycket för Slater orbital, $\mathbf {\psi } _{1s}=\left({\frac {\zeta ^{3}}{ \pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}$ integralerna kan lösas exakt. Således är $\mathbf {E} _{1s}=\left\langle \left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{ -\zeta r}\right|\left.-\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}\left[{ \frac {-2r\zeta +r^{2}\zeta ^{2}}{2r^{2}}}\right]\right\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac { \mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle$$\mathbf {E} _{1s}={\frac {\zeta ^{2}}{2}}-\zeta \mathbf {Z} .$

Det optimala värdet för $\mathbf {\zeta }$ erhålls genom att likställa differentialen för energin med avseende på $\mathbf {\zeta }$ som noll. ${\frac {d\mathbf {E} _{1s}}{d\zeta }}=\zeta -\mathbf {Z} =0$ . Således $\mathbf {\zeta } =\mathbf {Z} .$

Icke-relativistisk energi

Följande energivärden beräknas alltså genom att använda uttrycken för energi och för Slater-exponenten.

Väte : H $\mathbf {Z} =1$ och $\mathbf {\zeta } =1$$\mathbf {E} _{1s}=$ −0,5 E _h $\mathbf {E} _{1s}=$ −13,60569850 eV $\mathbf {E} _{1s}=$ −313,75450000 kcal/mol

Guld : Au(78+) $\mathbf {Z} =79$ och $\mathbf {\zeta } =79$$\mathbf {E} _ {1s}=$ −3120.5 E _h $\mathbf {E} _{1s}=$ −84913.16433850 eV $\mathbf {E} _{1s}=$ −1958414 . kcal/mol.

Relativistisk energi av väteatomsystem

Hydrogena atomsystem är lämpliga modeller för att på ett enkelt sätt demonstrera de relativistiska effekterna i atomsystem. Energiförväntningsvärdet kan beräknas genom att använda Slater-orbitaler med eller utan beaktande av den relativistiska korrigeringen för Slater-exponenten $\mathbf {\zeta }$ . Den relativistiskt korrigerade Slater-exponenten $\mathbf {\zeta } _{rel}$ ges som $\mathbf {\zeta } _{ rel}={\frac {\mathbf {Z} }{\sqrt {1-\mathbf {Z} ^{2}/c^{2}}}}$ . Den relativistiska energin för en elektron i 1s omloppsbana i ett väteatomsystem erhålls genom att lösa Dirac-ekvationen . $\mathbf {E} _{1s}^{rel}=-(c^{2}+\mathbf {Z} \zeta )+{\sqrt {c^{4}+\mathbf {Z} ^{2}\zeta ^{2}}}$ . Följande tabell illustrerar de relativistiska korrigeringarna i energi och det kan ses hur den relativistiska korrigeringen skalar med systemets atomnummer.

Atomsystemet	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {\zeta } _{nonrel}$	$\mathbf {\zeta } _{rel}$	$\mathbf {E} _{1s}^{nonrel}$	$\mathbf {E} _{1s}^{rel}$ med $\mathbf {\zeta } _{nonrel}$	$\mathbf {E} _{1s}^{rel}$ med $\mathbf {\zeta } _{rel}$
H	1	1,00000000	1,00002663	−0,50000000 E h	−0,50000666 E h	−0,50000666 E h
				−13.60569850 eV	−13.60587963 eV	−13.60587964 eV
				−313,75450000 kcal/mol	−313,75867685 kcal/mol	−313,75867708 kcal/mol
Au(78+)	79	79.00000000	96.68296596	−3120,50000000 E h	−3343.96438929 E h	−3434.58676969 E h
				−84913.16433850 eV	−90993.94255075 eV	−93459.90412098 eV
				−1958141,83450000 kcal/mol	−2098367,74995699 kcal/mol	−2155234,10926142 kcal/mol