Θ (mängdlära)

I mängdteorin är Θ (uttalas som bokstaven theta ) den minsta nollordinala α så att det inte finns någon surjektion från realerna till α .

Om valets axiom (AC) gäller (eller till och med om realerna kan vara välordnade ), så är Θ helt enkelt $(2^{\aleph _{0}})^{+}$ , kardinalens efterträdare av kontinuumets kardinalitet . Emellertid studeras Θ ofta i sammanhang där valets axiom misslyckas, såsom modeller av beslutsamhetsaxiomet .

Θ är också det högsta av längderna för alla förbeställningar av realerna.

Bevis på existens

Det kanske inte är uppenbart att det kan bevisas, utan att använda AC, att det till och med existerar en ordinal som inte är noll på vilken det inte finns någon surjektion från realerna (om det finns en sådan ordningsföljd måste det finnas minst en eftersom ordinalerna är välordnat). Anta dock att det inte fanns någon sådan ordinarie. Sedan kunde vi till varje ordinal α associera mängden av alla förorderingar av realerna med längden α. Detta skulle ge en injektion från klassen av alla ordinaler till uppsättningen av alla uppsättningar av beställningar på realerna (som kan ses vara en uppsättning via upprepad tillämpning av powerset- axiomet ). Nu axiomet för ersättning att klassen för alla ordtal i själva verket är en mängd. Men det är omöjligt, enligt Burali-Forti-paradoxen .