Łukasiewicz–Moisil algebra

₀ Łukasiewicz–Moisil algebras ( LM _n algebras ) introducerades på 1940-talet av Grigore Moisil (till en början under namnet Łukasiewicz algebras ) i hopp om att ge algebraisk semantik för den n -värderade Łukasiewicz logiken . Men 1956 upptäckte Alan Rose att för n ≥ 5 modellerar Łukasiewicz–Moisil-algebra inte Łukasiewicz-logiken. En trogen modell för den ℵ -värderade (oändligt många värderade) Łukasiewicz–Tarski-logiken gavs av CC Changs MV -algebra , som introducerades 1958. För den axiomatiskt mer komplicerade (ändliga) n -värderade Łukasiewicz-logiken, lämpliga algebras publicerades 1977 av Revaz Grigolia och kallades MV _n -algebras . MV _n -algebror är en underklass av LM _n -algebror, och inkluderingen är strikt för n ≥ 5. 1982 publicerade Roberto Cignoli några ytterligare begränsningar som lagts till LM _n -algebror producerar korrekta modeller för n -värderad Łukasiewicz logik; Cignoli kallade sin upptäckt för Łukasiewicz algebras .

Moisil publicerade emellertid 1964 en logik för att matcha hans algebra (i det allmänna n ≥ 5-fallet), nu kallad Moisil-logik . Efter att ha kommit i kontakt med Zadehs luddiga logik introducerade Moisil 1968 också en oändligt många värdefull logikvariant och dess motsvarande LM _θ algebror . Även om Łukasiewicz-implikationen inte kan definieras i en LM _n- algebra för n ≥ 5, kan Heyting-implikationen vara, dvs. LM _n- algebror är Heyting-algebror ; som ett resultat kan Moisil-logik också utvecklas (ur en rent logisk synvinkel) inom ramen för Browers intuitionistiska logik .

Definition

En LM _n- algebra är en De Morgan-algebra (ett begrepp som också introducerats av Moisil) med n -1 ytterligare unära, "modala" operationer: $\nabla _{1},\ldots ,\nabla _{n-1}$ , dvs en signaturalgebra ( $\displaystyle (A,\vee ,\wedge ,\neg ,\nabla _{j\in J},0,1)}$ där J = { 1, 2, ... n -1}. (Vissa källor betecknar de extra operatorerna som $\nabla _{j\in J}^{n}$ för att betona att de beror på ordningen n i algebra.) De ytterligare unära operatorerna ∇ _j måste uppfylla följande axiom för alla x , y ∈ A och j , k ∈ J :

1. $\nabla _{j}(x\vee y)=(\nabla _{j}\;x)\vee (\ nabla _{j}\;y)$
2. $\nabla _{j}\;x\vee \neg \nabla _{j}\;x=1$
3. $\nabla _{j}(\nabla _{k}\;x)=\nabla _{k}\;x$
4. $\nabla _{j}\neg x=\neg \nabla _{nj}\;x$
5. $\nabla _{1}\;x\leq \nabla _{2}\;x\cdots \leq \nabla _{n-1}\ ;x$
6. om $\nabla _{j}\;x=\nabla _{j}\;y$ för alla j ∈ J , då är x = y .

(Adjektivet "modal" är relaterat till Tarksi och Łukasiewiczs [slutligen misslyckade] program för att axiomatisera modal logik med hjälp av logik med många värden.)

Elementära egenskaper

Dualerna av några av ovanstående axiom följer som egenskaper:

• $\nabla _{j}(x\wedge y)=(\nabla _{j}\;x)\wedge (\ nabla _{j}\;y)$
• $\nabla _{j}\;x\wedge \neg \nabla _{j}\;x=0$

Dessutom: $\nabla _{j}\;0=0$ och $\nabla _{j}\;1=1$ . Med andra ord, de unära "modala" operationerna $\nabla _{j}$ är gitter- endomorfismer .

Exempel

LM ₂ - algebror är de booleska algebrorna . Den kanoniska Łukasiewicz algebra ${\mathcal {L}}_{n}$ som Moisil hade i åtanke låg över mängden L_n = { 0, 1/( n − 1), 2/( n − 1) , ..., ( n -2)/( n -1), 1 } med negation $\neg x=1-x$ konjunktion ${ \displaystyle x\wedge y=\min\{x,y\}}$ och disjunktion $x\vee y=\max\{x,y\}$ och den unära "modala" operatörer:

$\nabla _{j}\left({\frac {i}{n-1}}\right)=\;{\begin{cases}0&{\mbox{if }}i+j<n\ \1&{\mbox{if }}i+j\geq n\\\end{cases}}\quad i\in \{0\}\cup J,\;j\in J.$

Om B är en boolesk algebra, så är algebra över mängden B ^[2] ≝ {( x , y ) ∈ B × B | x ≤ y } med gitteroperationerna definierade punktvis och med ¬( x , y ) ≝ (¬ y , ¬ x ), och med de unära "modala" operatorerna ∇ ₂ ( x , y ) ≝ ( y , y ) och ∇ ₁ ( x , y ) = ¬∇ ₂ ¬( x , y ) = ( x , x ) [härledd av axiom 4] är en trevärdig Łukasiewicz-algebra.

Representation

Moisil bevisade att varje LM _n algebra kan bäddas in i en direkt produkt (av kopior) av den kanoniska ${\mathcal {L}}_{n}$ algebra. Som en följd av detta är varje LM _n algebra en subdirekt produkt av subalgebra av ${\mathcal {L}}_{n}$ .

Heyting-implikationen kan definieras som:

$x\Rightarrow y\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\; y\vee \bigwedge _{j\in J}(\neg \nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)$

Antonio Monteiro visade att för varje monadisk boolesk algebra kan man konstruera en trivalent Łukasiewicz-algebra (genom att ta vissa ekvivalensklasser) och att vilken trivalent Łukasiewicz-algebra som helst är isomorf till en Łukasiewicz-algebra härledd från en monadisk boolesk algebra. Cignoli sammanfattar betydelsen av detta resultat som: "Eftersom det visades av Halmos att monadiska booleska algebror är den algebraiska motsvarigheten till klassisk första ordningens monadskalkyl, ansåg Monteiro att representationen av trevärdiga Łukasiewicz algebror till monadiska booleska algebror ger ett bevis på konsistensen av Łukasiewicz trevärdig logik i förhållande till klassisk logik."

Vidare läsning

•   Raymond Balbes; Philip Dwinger (1975). Fördelningsgaller . University of Missouri Press. Kapitel IX. De Morgan Algebras och Lukasiewicz Algebras. ISBN 978-0-8262-0163-8 .
•   Boicescu, V., Filipoiu, A., Georgescu, G., Rudeanu, S.: Łukasiewicz-Moisil Algebras. North-Holland, Amsterdam (1991) ISBN 0080867898
• Iorgulescu, A.: Samband mellan MV _n -algebror och n -värderade Łukasiewicz–Moisil algebror—II. Diskret matematik. 202, 113–134 (1999) doi : 10.1016/S0012-365X(98)00289-1
• Iorgulescu, A.: Samband mellan MV _n -algebror och n -värderade Łukasiewicz-Moisil—III. Opublicerat manuskript
• Iorgulescu, A.: Samband mellan MV _n -algebror och n -värderade Łukasiewicz–Moisil algebror—IV. J. Univers. Comput. Sci. 6, 139–154 (2000) doi : 10.3217/jucs-006-01-0139
• R. Cignoli, Algebras de Moisil de orden n, Ph.D. Avhandling, Universidad National del Sur, Bahia Blanca, 1969
• http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093635424