Zubovs metod

Zubovs metod är en teknik för att beräkna attraktionsbassängen för en uppsättning vanliga differentialekvationer ( ett dynamiskt system ). Attraktionsdomänen är mängden ${\displaystyle \{x:\,v(x)<1\}} ,$ där $v(x)$ är lösningen på en partiell differentialekvation känd som Zubov-ekvationen . Zubovs metod kan användas på ett antal sätt.

Påstående

Zubovs teorem säger att:

Om $x'=f(x),t\in \mathbb {R}$ en vanlig differentialekvation i $\mathbb {R} ^{ n}$ med $f(0)=0$ , en mängd $A$ som innehåller 0 i dess inre är attraktionsdomänen noll om och endast om det finns kontinuerliga funktioner $v,h$ så att:

• $v(0)=h(0)=0$ , $0<v(x)<1$ för $x\in A\setminus \{0\}$ , $h>0$ på $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$
• för varje $\gamma _{2}>0$ finns det $\gamma _{1}>0,\alpha _{1}>0$ så att ${\displaystyle v(x)>\gamma _{1},h(x)>\alpha _{1}} ,$ om $||x||>\gamma _{2}$
• $v(x_{n})\högerpil 1$ för $x_{n}\rightarrow \partial A$ eller $||x_{n}||\högerpil \infty$
• $\nabla v(x)\cdot f(x)=-h(x)(1-v(x)){\sqrt {1+||f(x)||^{2}}}$

Om f är kontinuerligt differentierbar, så har differentialekvationen högst en kontinuerligt differentierbar lösning som uppfyller $v(0)=0$ .