Zonogon

Åttakantig zonogon

Tessellation av oregelbundna hexagonala zonogoner

Vanlig oktagon kaklad av rutor och romber

I geometri är en zonogon en centralt-symmetrisk , konvex polygon . På motsvarande sätt är det en konvex polygon vars sidor kan grupperas i parallella par med lika långa och motsatta orienteringar.

Exempel

En vanlig polygon är en zonogon om och bara om den har ett jämnt antal sidor. Således är kvadraten, den reguljära sexhörningen och den vanliga oktagonen alla zonogoner. De fyrsidiga zonogonerna är kvadraten, rektanglarna , rhombi och parallellogram .

Kakelsättning och ekvidissektion

De fyrsidiga och sexsidiga zonogonerna är parallellogoner , som kan belägga planet genom att översätta kopior av sig själva, och alla konvexa parallellogoner har denna form.

Varje $2n$ -sidig zonogon kan beläggas med ${\tbinom {n}{2}}$ parallellogram . (För liksidiga zonogoner kan en $2n$ -sidig sida läggas ihop med ${\tbinom {n}{2}}$ rombi .) I denna platta finns det parallellogram för varje ett par sidor med sluttningar i den $2n$ -sidiga zonogonen. Minst tre av zonogons hörn måste vara hörn av endast en av parallellogrammen i en sådan plattsättning. Till exempel kan den vanliga oktagonen beläggas med två rutor och fyra 45°-rhombi.

I en generalisering av Monskys teorem , bevisade Paul Monsky ( 1990 ) att ingen zonogon har en ekvidissektion i ett udda antal trianglar med lika area.

Övriga fastigheter

I en $n$ -sidig zonogon kan högst $2n-3$ par av hörn vara på enhetsavstånd från varandra. Det finns $n$ -sidiga zonogoner med $2n-O({\sqrt {n}})$ enhetsavståndspar.

Besläktade former

Zonogoner är de tvådimensionella analogerna av tredimensionella zonoedrar och högredimensionella zonotoper. Som sådan kan varje zonogon genereras som Minkowski-summan av en samling linjesegment i planet. Om inte två av de genererande linjesegmenten är parallella, kommer det att finnas ett par parallella kanter för varje linjesegment. Varje yta av en zonohedron är en zonogon, och varje zonogon är ytan på minst en zonohedron, prismat över den zonogonen. Dessutom är varje plan tvärsnitt genom mitten av en centralsymmetrisk polyeder (som en zonohedron) en zonogon.