Zilch (elektromagnetism)

Inom fysiken är zilch (eller zilches) en uppsättning av tio bevarade kvantiteter av det källfria elektromagnetiska fältet , som upptäcktes av Lipkin 1964. Namnet syftar på det faktum att zilcherna endast bevaras i områden som är fria från elektrisk laddning, och har därför begränsad fysisk betydelse. En av de bevarade kvantiteterna (Lipkins $Z^{0}$ ) har en intuitiv fysisk tolkning och är även känd som optisk kiralitet .

Speciellt, först, observerade Daniel M. Lipkin att om han definierade kvantiteterna

{\begin{aligned}Z^{0}&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {E} +\mathbf {B} \cdot \nabla \times \mathbf {B} \\[4pt]\mathbf {Z} &={\frac {1}{ c}}\left(\mathbf {E} \times {\frac {d}{dt}}\mathbf {E} +\mathbf {B} \times {\frac {d}{dt}}\mathbf {B } \right)\end{aligned}}

antyder de fria Maxwell-ekvationerna det

\partial _{0}Z^{0}+\nabla \cdot \mathbf {Z} =0

vilket innebär att kvantiteten $\int Z^{0}\,d^{3}x$ är konstant. Denna tidsoberoende kvantitet är känd som zilch, men mer exakt är det en av de tio zilcher som upptäcktes av Lipkin (se nedan). Nuförtiden är kvantiteten $\int Z^{0}\,d^{3}x$ allmänt känd som optisk kiralitet (upp till en faktor på 1/2). Kvantiteten ${Z}^{0}$ är den rumsliga densiteten för optisk kiralitet, medan $\mathbf {Z}$ är det optiska kiralitetsflödet. Genom att generalisera den förutnämnda differentiella bevarandelagen för $Z^{0}$ fann Lipkin andra nio bevarandelagar, alla orelaterade till stress-energitensorn . Han kallade tillsammans dessa tio bevarade kvantiteter zilchen (numera kallas de också zilcherna) på grund av den uppenbara bristen på fysisk betydelse.

Zilch(erna) beskrivs ofta i termer av zilch-tensorn, $Z_{\nu \rho }^{\mu }$ . Det senare kan uttryckas med den dubbla elektromagnetiska tensorn ${\hat {F}}^{\mu \nu }=(1/2 )\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$ som $Z_{\nu \rho }^{\mu }={\hat {F}}^{\mu \lambda }F_{\lambda \nu,\rho }-F^{\mu \lambda }{\hat { F}}_{\lambda \nu ,\rho }$ . Zilch-tensorn är symmetrisk under utbytet av sina två första index, $\mu$ och $\nu$ , medan den också är spårlös med avseende på två valfria index, samt divergensfri med avseende på till något index.

 Bevarandelagen  $\partial _{\rho }Z^{\mu \nu \rho }=0$  innebär att följande tio storheter är tidsoberoende:  ${\displaystyle \int d^{3}xZ^{\mu \nu 0}=\int d^{3}xZ^{\nu \mu 0}.} Det här är$  de tio zilch (eller bara zilch) som upptäckts av Lipkin. Faktum är att bara nio zilches är oberoende.  Den tidsoberoende kvantiteten   $\int d^{3}xZ^{000}$  är känd som 00-zilch och är lika med den tidigare nämnda optiska kiraliteten  $\int Z^{0}\,d^{3}x$  (  $Z^{000}=Z^{0}$  ). I allmänhet är den tidsoberoende kvantiteten   $\int d^{3}xZ^{\mu \nu 0}$  känd som  $\mu \nu$  - zilch (indexen  $\mu ,\nu$  går från 0 till 3) och det är tydligt att det finns tio sådana storheter (nio oberoende).

Det visades senare att Lipkins zilch är en del av ett oändligt antal zilch-liknande konserverade kvantiteter, en allmän egenskap hos fria fält .

En av zilcherna har återupptäckts. Det här är nullen som kallas "optisk kiralitet". Detta namn gavs av Tang och Cohen eftersom denna zilch bestämmer graden av kiral asymmetri i excitationshastigheten för en liten kiral molekyl av ett infallande elektromagnetiskt fält. Ytterligare en fysisk insikt om optisk kiralitet erbjöds 2012; optisk kiralitet är för krullen eller tidsderivatan av det elektromagnetiska fältet vad helicitet, spinn och relaterade storheter är för själva det elektromagnetiska fältet. Den fysiska tolkningen av alla zilcher för topologiskt icke-triviala elektromagnetiska fält undersöktes 2018.

Sedan upptäckten av de tio zilcherna 1964 finns det en viktig öppen matematisk fråga om deras förhållande till symmetrier. (Nyligen verkar det fullständiga svaret på denna fråga ha hittats). Frågan är:

 Vilka är symmetrierna för den vanliga Maxwell-funktionsfunktionen  $S[A_{\mu }]=-{\frac {1}{4 }}\int d^{4}xF_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$  (med  ${\displaystyle F_{\mu \nu } =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} , där A μ {\displaystyle$  A  $\mu }}$  är den dynamiska fältvariabel) som ger upphov till bevarandet av alla zilches med Noethers sats?

Tills nyligen hade svaret på denna fråga endast givits för fallet med optisk kiralitet av Philbin 2013. Denna öppna fråga betonades också av Aghapour, Andersson och Rosquist 2020, medan dessa författare fann symmetrierna hos den dualitetssymmetriska Maxwell åtgärder som ligger till grund för bevarandet av alla zilches. (Aghapour, Andersson och Rosquist hittade inte symmetrierna för den vanliga Maxwell-handlingen, men de spekulerade i att sådana symmetrier borde finnas). Det finns också tidigare verk som studerar bevarandet av zilch i samband med dualitetssymmetrisk elektromagnetism, men variationskaraktären hos motsvarande symmetrier fastställdes inte.

Det fullständiga svaret på ovannämnda fråga tycks ha getts för första gången 2022, där symmetrierna för den vanliga Maxwell-åtgärden som ligger till grund för bevarandet av alla zilcher hittades. Enligt detta arbete finns det en dold invariansalgebra av fria Maxwell-ekvationer i potentiell form som är relaterad till bevarandet av alla zilcher.

Se även