Youla–Kucera parametrisering

I styrteorin är Youla –Kučera-parametriseringen (även helt enkelt känd som Youla- parametrisering ) en formel som beskriver alla möjliga stabiliserande återkopplingsregulatorer för en given anläggning P , som funktion av en enda parameter Q .

Detaljer

YK-parametriseringen är ett allmänt resultat. Det är ett grundläggande resultat av kontrollteorin och lanserade ett helt nytt forskningsområde och fann tillämpning bland annat inom optimal och robust kontroll. Den tekniska betydelsen av YK-formeln är att om man vill hitta en stabiliserande styrenhet som uppfyller något ytterligare kriterium, kan man justera parametern Q så att det önskade kriteriet uppfylls.

För att underlätta förståelsen och som Kučera föreslår beskrivs den bäst för tre alltmer allmänna sorters växter.

Stabil SISO-anläggning

Låt $P(s)$ vara en överföringsfunktion av ett stabilt system med engångsutgång (SISO). Låt vidare $\Omega$ vara en uppsättning stabila och korrekta funktioner av $s$ . Sedan kan uppsättningen av alla korrekta stabiliseringsregulatorer för anläggningen $P(s)$ definieras som

$\left\{{\frac {Q(s)}{1-P(s)Q(s) }},Q(s)\in \Omega \right\}$ ,

där $Q(s)$ är en godtycklig riktig och stabil funktion av s . Det kan sägas att $Q(s)$ parametriserar alla stabiliserande styrenheter för anläggningen $P(s)$ .

Allmänt SISO-anläggning

Betrakta en allmän anläggning med en överföringsfunktion $P(s)$ . Vidare kan överföringsfunktionen faktoriseras som

${\displaystyle P(s)={\frac {N(s)}{M(s)}}} ,$ där $M(s) )$ , $N(s)$ är stabila och korrekta funktioner för s .

Lös nu Bézoutens identitet för formuläret

$\mathbf {N(s)Y(s)} +\mathbf {M(s)X(s)} =\mathbf {1}$ ,

där variablerna som ska hittas $(X(s),Y(s))$ också måste vara korrekta och stabila.

Efter att korrekt och stabil $X,Y$ har hittats, kan vi definiera en stabiliserande styrenhet som är av formen $C(s)={ \frac {Y(s)}{X(s)}}$ . Efter att vi har en stabiliseringskontroller till hands kan vi definiera alla stabiliserande kontroller med hjälp av en parameter $Q(s)$ som är korrekt och stabil. Uppsättningen av alla stabiliserande kontroller definieras som

$\left\{{\frac {Y(s) +M(s)Q(s)}{X(s)-N(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}$ .

Allmän MIMO-anläggning

I ett MIMO-system (multiple-input multiple-output), betrakta en överföringsmatris $\mathbf {P(s)}$ . Det kan faktoriseras med hjälp av högra coprime-faktorer $\mathbf {P(s)=N(s)D^{-1}(s)}$ eller vänster faktorer $\mathbf {P(s)={\tilde {D}}^{-1}(s){\tilde {N }}(s)}$ . Faktorerna måste vara korrekta, stabila och dubbelt coprime, vilket säkerställer att systemet $\mathbf {P(s)}$ är kontrollerbart och observerbart. Detta kan skrivas av Bézout identitet av formuläret:

$\left[{\begin{matrix}\mathbf {X} &\mathbf {Y} \\-\ mathbf {\tilde {N}} &{\mathbf {\tilde {D}} }\\\end{matris}}\höger]\vänster[{\begin{matrix}\mathbf {D} &-\mathbf { \tilde {Y}} \\\mathbf {N} &{\mathbf {\tilde {X}} }\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\mathbf {I } &0\\0&\mathbf {I} \\\end{matris}}\höger]$ .

Efter att ha hittat $\mathbf {X,Y,{\tilde {X}},{\tilde {Y}}}$ som är stabila och korrekta, kan vi definiera mängden av alla stabiliserande kontroller $\mathbf {K(s)}$ med vänster eller höger faktor, förutsatt att de har negativ återkoppling.

${\begin{aligned}&\mathbf {K(s)} ={{\left(\mathbf {X} -\mathbf {\Delta {\tilde {N}}} \right)}^{-1}}\left(\mathbf {Y} + \mathbf {\Delta {\tilde {D}}} \right)\\&=\left(\mathbf {\tilde {Y}} +\mathbf {D\Delta } \right){{\left(\mathbf {\tilde {X}} -\mathbf {N\Delta } \right)}^{-1}}\end{aligned}}$

där $\Delta$ är en godtycklig stabil och korrekt parameter.

Låt $P(s)$ vara överföringsfunktionen för anläggningen och låt $K_{0}(s)$ vara en stabiliserande styrenhet. Låt deras rätta coprime-faktoriseringar vara:

$\mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}$

$\ mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}$

då kan alla stabiliserande kontroller skrivas som

$\mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )( \mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}$

där $Q$ är stabil och korrekt.

• DC Youla, HA Jabri, JJ Bongiorno: Modern Wiener-Hopf-design av optimala kontroller: del II, IEEE Trans. Automat. Contr., AC-21 (1976) sid. 319-338
• V. Kučera: Stabilitet hos diskreta linjära återkopplingssystem. I: Proceedings of the 6th IFAC. World Congress, Boston, MA, USA, (1975).
• CA Desoer, R.-W. Liu, J. Murray, R. Saeks. Feedbacksystemdesign: metoden med fraktionerad representation för analys och syntes. IEEE Trans. Automat. Contr., AC-25 (3), (1980) sid. 399-412
• John Doyle, Bruce Francis, Allen Tannenbaum. Feedbackkontrollteori. (1990). [2]