Wiener–Wintners sats

Inom matematiken är Wiener–Wintner-satsen , uppkallad efter Norbert Wiener och Aurel Wintner , en förstärkning av den ergodiska satsen , bevisad av Wiener och Wintner ( 1941 ).

Påstående

Antag att τ är en måttbevarande transformation av ett måttutrymme S med ändligt mått. Om f är en realvärderad integrerbar funktion på S så anger Wiener–Wintner-satsen att det finns ett mått 0 uppsättning E så att medelvärdet

$\lim _{\ell \rightarrow \infty }{\frac {1}{2\ell + 1}}\sum _{j=-\ell }^{\ell }e^{ij\lambda }f(\tau ^{j}P)$

finns för alla reella λ och för alla P inte i E .

Det speciella fallet för λ = 0 är i huvudsak Birkhoffs ergodiska sats , från vilken förekomsten av ett lämpligt mått 0 uppsättning E för varje fast λ , eller någon räknebar uppsättning värden λ , omedelbart följer. Poängen med Wiener–Wintner-satsen är att man kan välja måttet 0 exceptionell mängd E för att vara oberoende av λ .

Denna sats var ännu mycket mer generaliserad av Return Times Theorem.

• Assani, I. (2001) [1994], "Wiener–Wintner theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Wiener, Norbert; Wintner, Aurel (1941 ) , "Harmonic analysis and ergodic theory", American Journal of Mathematics , 63 : 415–426, doi : 10.2307/2371534 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371534 , 0409 8004 , 0409