Vev av en skiljevägg

Freeman Dyson 2005

I talteorin är veven på en partition av ett heltal ett visst heltal som är associerat med partitionen . Termen introducerades först utan definition av Freeman Dyson i ett papper från 1944 som publicerades i Eureka , en tidskrift publicerad av Mathematics Society of Cambridge University . Dyson gav sedan en lista över egenskaper som denna ännu inte definierade kvantitet borde ha. År 1988 George E. Andrews och Frank Garvan en definition för vev som tillfredsställer de egenskaper som Dyson ansåg för den.

Dysons vev

Låt n vara ett icke-negativt heltal och låt p ( n ) beteckna antalet partitioner av n ( p (0) definieras som 1). Srinivasa Ramanujan i en tidning publicerad 1918 angav och bevisade följande kongruenser för partitionsfunktionen p ( n ), sedan känd som Ramanujan-kongruenser .

• p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Dessa kongruenser innebär att partitioner av tal av formen 5 n + 4 (av formerna 7 n + 5 respektive 11 n + 6 ) kan delas in i 5 (respektive 7 och 11) underklasser av samma storlek. De då kända bevisen för dessa kongruenser var baserade på idéerna om att generera funktioner och de specificerade inte en metod för uppdelningen av partitionerna i underklasser av samma storlek.

I sin Eureka-tidning föreslog Dyson begreppet rang av en partition . Rangen för en partition är det heltal som erhålls genom att subtrahera antalet delar i partitionen från den största delen i partitionen. Till exempel är rangen för partitionen λ = { 4, 2, 1, 1, 1 } av 9 4 − 5 = −1. Betecknar med N ( m , q , n ), antalet partitioner av n vars led är kongruenta med m modulo q , ansåg Dyson N ( m , 5, 5 n + 4) och N ( m , 7, 7 n + 5 ) för olika värden på n och m . Baserat på empiriska bevis formulerade Dyson följande gissningar, kända som rangförmodanden .

För alla icke-negativa heltal n har vi:

• N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 n + 4).
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = N (3, 7, 7 n + 5) = N ( 4, 7, 7 n + 5) = N (5, 7, 7 n + 5) = N (6, 7, 7 n + 5)

Förutsatt att dessa gissningar är sanna, tillhandahöll de ett sätt att dela upp alla partitioner av tal av formen 5 n + 4 i fem klasser av samma storlek: Lägg i en klass alla de partitioner vars rangordningar är kongruenta med varandra modulo 5. samma idé kan tillämpas för att dela upp partitionerna av heltal av formen 7 n + 6 i sju lika många klasser. Men idén misslyckas med att dela upp partitioner av heltal av formen 11 n + 6 i 11 klasser av samma storlek, som följande tabell visar.

Partitioner av heltal 6 ( 11 n + 6 med n = 0 ) indelade i klasser baserat på rangordningar

rank ≡ 0 (mod 11)	rank ≡ 1 (mod 11)	rank ≡ 2 (mod 11)	rank ≡ 3 (mod 11)	rank ≡ 4 (mod 11)	rank ≡ 5 (mod 11)	rank ≡ 6 (mod 11)	rank ≡ 7 (mod 11)	rank ≡ 8 (mod 11)	rank ≡ 9 (mod 11)	rank ≡ 10 (mod 11)
{3,2,1}	{4,1,1}	{4,2}	{5,1}		{6}	{1,1,1,1,1,1}		{2,1,1,1,1}	{2,2,1,1}	{2,2,2}
	{3,3}									{3,1,1,1}

Rangen kan alltså inte användas för att bevisa satsen kombinatoriskt. Men Dyson skrev,

Jag håller faktiskt:

• att det finns en aritmetisk koefficient som liknar, men mer rekondit än, rangen för en partition; Jag skall kalla denna hypotetiska koefficient för "veven" för partitionen och beteckna med M ( m , q , n ) antalet partitioner av n vars vev är kongruent med m modulo q;
• att M ( m , q , n ) = M ( q - m , q , n );
• att M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) = M (4, 11, 11 n + 6);
• den där . . .

Huruvida dessa gissningar är motiverade av bevis överlåter jag åt läsaren att avgöra. Oavsett vad eftervärldens slutgiltiga dom kan bli, tror jag att "vevan" är unik bland aritmetiska funktioner genom att den har fått ett namn innan den upptäcktes. Må den bevaras från planeten Vulcans skandalösa öde .

Definition av vev

I en tidning publicerad 1988 definierade George E. Andrews och FG Garvan veven på en partition enligt följande:

För en partition λ , låt ℓ ( λ ) beteckna den största delen av λ , ω ( λ ) beteckna antalet 1:or i λ , och μ ( λ ) beteckna antalet delar av λ som är större än ω ( λ ). Veven c ( λ ) ges av

$c(\lambda ) ={\begin{cases}\ell (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )=0\\\mu (\lambda )-\omega (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )>0.\end{cases}}$

Vevarna för partitionerna för heltal 4, 5, 6 beräknas i följande tabeller.

Vevar av partitionerna på 4

Partition λ	Största delen ℓ ( λ )	Antal 1:or ω ( λ )	Antal delar större än ω ( λ ) μ ( λ )	Vev c ( λ )
{4}	4	0	1	4
{3,1}	3	1	1	0
{2,2}	2	0	2	2
{2,1,1}	2	2	0	−2
{1,1,1,1}	1	4	0	−4

Vevar av partitionerna på 5

Partition λ	Största delen ℓ ( λ )	Antal 1:or ω ( λ )	Antal delar större än ω ( λ ) μ ( λ )	Vev c ( λ )
{5}	5	0	1	5
{4,1}	4	1	1	0
{3,2}	3	0	2	3
{3,1,1}	3	2	1	−1
{2,2,1}	2	1	2	1
{2,1,1,1}	2	3	0	−3
{1,1,1,1,1}	1	5	0	−5

Vevar av partitionerna på 6

Partition λ	Största delen ℓ ( λ )	Antal 1:or ω ( λ )	Antal delar större än ω ( λ ) μ ( λ )	Vev c ( λ )
{6}	6	0	1	6
{5,1}	5	1	1	0
{4,2}	4	0	2	4
{4,1,1}	4	2	1	−1
{3,3}	3	0	2	3
{3,2,1}	3	1	2	1
{3,1,1,1}	3	3	0	−3
{2,2,2}	2	0	3	2
{2,2,1,1}	2	2	0	−2
{2,1,1,1,1}	2	4	0	−4
{1,1,1,1,1,1}	1	6	0	−6

Noteringar

För alla heltal n ≥ 0 och alla heltal m , betecknas antalet partitioner av n med vev lika med m med M ( m , n ) förutom n = 1 där M (−1,1) = − M (0, 1) = M (1,1) = 1 som ges av följande genereringsfunktion. Antalet partitioner av n med vev lika med m modulo q betecknas med M ( m , q , n ).

Genereringsfunktionen för M ( m , n ) ges nedan:

${\ displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }M(m,n)z^{m}q^{n}=\prod _{ n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{n})}{(1-zq^{n})(1-z^{-1}q^{n})}} }$

Grundresultat

Andrews och Garvan bevisade följande resultat som visar att veven enligt definitionen ovan uppfyller villkoren från Dyson.

• M (0, 5, 5 n + 4) = M (1, 5, 5 n + 4) = M (2, 5, 5 n + 4) = M (3, 5, 5 n + 4) = M ( 4, 5, 5 n + 4) = p (5 n + 4) / 5
• M (0, 7, 7 n + 5) = M (1, 7, 7 n + 5) = M (2, 7, 7 n + 5) = M (3, 7, 7 n + 5) = M ( 4, 7, 7 n + 5) = M (5, 7, 7 n + 5) = M (6, 7, 7 n + 5) = p (7 n + 5) / 7
• M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) =. . . = M (9, 11, 11 n + 6) = M (10, 11, 11 n + 6) = p (11 n + 6) / 11

Begreppen rang och vev kan båda användas för att klassificera partitioner av vissa heltal i underklasser av samma storlek. Men de två koncepten producerar olika underklasser av partitioner. Detta illustreras i följande två tabeller.

Klassificering av partitionerna i heltal 9 baserat på vevar

Skiljeväggar med vev ≡ 0 (mod 5)	Skiljeväggar med vev ≡ 1 (mod 5)	Skiljeväggar med vev ≡ 2 (mod 5)	Skiljeväggar med vev ≡ 3 (mod 5)	Skiljeväggar med vev ≡ 4 (mod 5)
{ 8, 1 }	{ 6, 3 }	{ 7, 2 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }
{ 5, 4 }	{ 6, 2, 1 }	{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 2, 2 }	{ 5, 3, 1 }	{ 4, 2, 2, 1 }	{ 3, 3, 3 }	{ 5, 2, 1, 1 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }	{ 4, 3, 2 }
{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Klassificering av partitionerna för heltal 9 baserat på rangordningar

Partitioner med rang ≡ 0 (mod 5)	Partitioner med rang ≡ 1 (mod 5)	Partitioner med rang ≡ 2 (mod 5)	Partitioner med rang ≡ 3 (mod 5)	Partitioner med rang ≡ 4 (mod 5)
{ 7, 2 }	{ 8, 1 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 5, 2, 1, 1 }	{ 5, 3, 1}	{ 6, 2, 1 }	{ 6, 3 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 5, 2, 2 }	{ 5, 4 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }	{ 4, 3, 2 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }
{ 3, 3, 3 }	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1}	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Ramanujan och vevar

Nyligen utförda arbeten av Bruce C. Berndt och hans medförfattare har avslöjat att Ramanujan kände till vevan, men inte i den form som Andrews och Garvan har definierat. I en systematisk studie av Ramanujans förlorade anteckningsbok har Berndt och hans medförfattare gett betydande bevis för att Ramanujan kände till dissektionerna av den vevgenererande funktionen.