Vektorfält i cylindriska och sfäriska koordinater

Sfäriska koordinater ( r , θ , φ ) som vanligen används inom fysiken : radiellt avstånd r , polär vinkel θ ( theta ) och azimutvinkel φ ( phi ). Symbolen ρ ( rho ) används ofta istället för r .

Obs: Den här sidan använder vanlig fysiknotation för sfäriska koordinater, där $\theta$ är vinkeln mellan z- axeln och radievektorn som förbinder origo till punkten i fråga, medan $\phi$ är vinkeln mellan projektionen av radievektorn på xy- planet och x -axeln. Flera andra definitioner används, och därför måste man vara försiktig när man jämför olika källor.

Cylindriskt koordinatsystem

Vektorfält

Vektorer definieras i cylindriska koordinater av ( ρ , φ , z ), där

• ρ är längden av vektorn som projiceras på xy -planet,
• φ är vinkeln mellan projektionen av vektorn på xy -planet (dvs. ρ ) och den positiva x -axeln (0 ≤ φ < 2 π ),
• z är den vanliga z -koordinaten.

( ρ , φ , z ) ges i kartesiska koordinater av:

$${\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix }}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatörsnamn {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$$

eller omvänt med:

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix} }}.$$

Vilket vektorfält som helst kan skrivas i termer av enhetsvektorerna som:

$$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat { x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{ \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$$

De cylindriska enhetsvektorerna är relaterade till de kartesiska enhetsvektorerna genom:

$${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0 \\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\ \mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$$

Notera: matrisen är en ortogonal matris , det vill säga dess invers är helt enkelt dess transponera .

Tidsderivata av ett vektorfält

För att ta reda på hur vektorfältet A förändras i tiden bör tidsderivatorna beräknas. För detta ändamål Newtons notation att användas för tidsderivatan ( ${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}} )$ . I kartesiska koordinater är detta helt enkelt:

$${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat { \mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z } }}$$

Men i cylindriska koordinater blir detta:

$${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+ {\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

Enhetsvektorernas tidsderivator behövs. De ges av:

$${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\ prick {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}$$

Så tidsderivatan förenklar till:

$${\dot {\mathbf {A} }}={ \hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi}+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }} {\dot {A}}_{z}$$

Andra gångsderivata av ett vektorfält

Den andra tidsderivatan är av intresse i fysiken , eftersom den finns i rörelseekvationer för klassiska mekaniska system. Den andra tidsderivatan av ett vektorfält i cylindriska koordinater ges av:

$$\mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_ {\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{ 2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi}+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{ \dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi}{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}$$

För att förstå detta uttryck ersätts A med P , där P är vektorn ( ρ , φ , z ).

Detta betyder att $\mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z }}$ .

Efter ersättning ges resultatet:

$${\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}} \left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z} }$$

Inom mekanik kallas termerna för detta uttryck:

$$visning av$$

Se även: Centripetalkraft , Vinkelacceleration och Corioliseffekt

Sfäriskt koordinatsystem

Vektorfält

Vektorer definieras i sfäriska koordinater av ( r , θ , φ ), där

• r är längden på vektorn,
• θ är vinkeln mellan den positiva Z-axeln och vektorn i fråga (0 ≤ θ ≤ π ), och
• φ är vinkeln mellan projektionen av vektorn på xy -planet och den positiva X-axeln (0 ≤ φ < 2 π ).

( r , θ , φ ) ges i kartesiska koordinater av:

$$_ \displaystyle {\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2 }}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}}, \ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$$

eller omvänt med:

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \ \r\cos \theta \end{bmatrix}}.$$

Vilket vektorfält som helst kan skrivas i termer av enhetsvektorerna som:

$$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat { x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{ \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$$

De sfäriska enhetsvektorerna är relaterade till de kartesiska enhetsvektorerna genom:

$${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat { \phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \ \\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$$

Notera: matrisen är en ortogonal matris , det vill säga dess invers är helt enkelt dess transponera .

De kartesiska enhetsvektorerna är alltså relaterade till de sfäriska enhetsvektorerna genom:

$${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{ bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\ hatt {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}$$

Tidsderivata av ett vektorfält

För att ta reda på hur vektorfältet A förändras i tiden bör tidsderivatorna beräknas. I kartesiska koordinater är detta helt enkelt:

$$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat { x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}}$$

Men i sfäriska koordinater blir detta:

$$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A} }_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{ \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}$$

Enhetsvektorernas tidsderivator behövs. De ges av:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+ {\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\ theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol { \hat {\theta }}}\end{aligned}}$$

Sålunda blir tidsderivatan:

$$\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A }}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\ theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta}+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi}}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi}+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_ {\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)$$

Se även

• Del in cylindriska och sfäriska koordinater för specificering av gradient , divergens , curl och Laplacian i olika koordinatsystem.