Variationsminskande egenskap

Provkurvor (röda) med deras polygoner (grå).

I matematik innebär variationsminskande egenskap hos vissa matematiska objekt att minska antalet förändringar i tecken (positivt till negativt eller vice versa).

Variationsminskande egenskap för Bézier-kurvor

Den variationsminskande egenskapen hos Bézier-kurvor är att de är jämnare än polygonen som bildas av deras kontrollpunkter. Om en linje dras genom kurvan kommer antalet skärningar med kurvan att vara mindre än eller lika med antalet skärningar med kontrollpolygonen. Med andra ord, för en Bézier-kurva B definierad av kontrollpolygonen P , kommer kurvan inte längre att ha någon skärning med något plan som det planet har med P . Detta kan generaliseras till högre dimensioner.

Denna egenskap studerades först av Isaac Jacob Schoenberg i hans 1930 uppsats, Über variationsvermindernde lineare Transformationen . Han fortsatte med att härleda det genom en omvandling av Descartes regel av tecken .

Bevis

Beviset använder processen med upprepad gradhöjning av Bézier-kurvan . Processen med gradhöjd för Bézier-kurvor kan betraktas som en instans av bitvis linjär interpolation . Styckvis linjär interpolation kan visas vara variationsminskande. Således, om R1 , R2 , R3 och så vidare _betecknar uppsättningen polygoner som erhålls genom gradhöjningen av den initiala kontrollpolygonen _R , _då kan det visas att

• $\mathbf {\lim _{r\to \infty }R_{r}} =\mathbf {B}$
• Varje Rr har färre skärningar med ett givet plan än Rr _-1 (eftersom gradhöjd är en form av linjär interpolation som kan visas följa den variationsminskande egenskapen ₎

Med hjälp av punkterna ovan säger vi att eftersom Bézier-kurvan B är gränsen för dessa polygoner när r går till ${\displaystyle \infty } ,$ kommer den att ha färre skärningar med ett givet plan än R _i för alla i , och i synnerhet färre skärningar än den ursprungliga styrpolygonen R . Detta är uttalandet av den variationsminskande egenskapen.

Helt positiva matriser

Den variationsminskande egenskapen hos totalt positiva matriser är en följd av deras nedbrytning till produkter av Jacobi-matriser .

Förekomsten av nedbrytningen följer av Gauss–Jordan trianguleringsalgoritmen. Det följer att vi bara behöver bevisa VD-egenskapen för en Jacobi-matris.

Blocken av Dirichlet-till-Neumann-kartor med plana grafer har den variationsminskande egenskapen.