Van Laar ekvation

Van Laar-ekvationen är en termodynamisk aktivitetsmodell , som utvecklades av Johannes van Laar 1910-1913, för att beskriva fasjämvikter i vätskeblandningar. Ekvationen härleddes från Van der Waals ekvation . De ursprungliga van der Waals-parametrarna gav ingen bra beskrivning av ång-vätskejämvikter av faser, vilket tvingade användaren att anpassa parametrarna till experimentella resultat. På grund av detta förlorade modellen kopplingen till molekylära egenskaper, och därför måste den betraktas som en empirisk modell för att korrelera experimentella resultat.

Ekvationer

Van Laar härledde överskottsentalpin från van der Waals ekvation:

$H^{ex}={\frac {b_{1} X_{1}b_{2}X_{2}}{b_{1}X_{1}+b_{2}X_{2}}}\left({\frac {\sqrt {a_{1}}}{ b_{1}}}-{\frac {\sqrt {a_{2}}}{b_{2}}}\right)^{2}$

Här är a _i och bi van der Waals parametrar för attraktion och utesluten volym av komponent i _. Han använde den konventionella kvadratiska blandningsregeln för energiparametern a och den linjära blandningsregeln för storleksparametern b. Eftersom dessa parametrar inte ledde till bra fasjämviktsbeskrivning reducerades modellen till formen:

${\frac {G^{ex}}{RT}}={\frac {A_{12}X_ {1}A_{21}X_{2}}{A_{12}X_{1}+A_{21}X_{2}}}$

Här är A ₁₂ och A ₂₁ van Laar-koefficienterna, som erhålls genom regression av experimentella ång-vätskejämviktsdata .

Aktivitetskoefficienten för komponent i härleds genom differentiering till x _i . Detta ger:

$\left\{{\begin{matrix}\ln \ \gamma _{1}=A_{12}\left({\frac {A_{21}X_{2}}{A_{12}X_{1}+ A_{21}X_{2}}}\höger)^{2}\\\ln \ \gamma _{2}=A_{21}\left({\frac {A_{12}X_{1}}{ A_{12}X_{1}+A_{21}X_{2}}}\höger)^{2}\end{matris}}\höger.$

Detta visar att van Laar-koefficienterna A ₁₂ och A ₂₁ är lika med logaritmiska begränsande aktivitetskoefficienter $\ln \left(\gamma _{1}^{\infty }\right)$ och $\ln \left(\gamma _{2}^{\infty }\right)$ respektive. Modellen ger ökande (A ₁₂ och A ₂₁ >0) eller endast minskande (A ₁₂ och A ₂₁ <0) aktivitetskoefficienter med minskande koncentration. Modellen kan inte beskriva extrema i aktivitetskoefficienten längs koncentrationsområdet.

Om ${\displaystyle A_{12}=A_{21}=A} ,$ vilket innebär att molekylerna är lika stora men olika i polaritet, blir ekvationerna:

$\left\{{\begin{matrix}\ln \ \gamma _{1}=Ax_{2}^{2} \\\ln \ \gamma _{2}=Ax_{1}^{2}\end{matris}}\right.$

I detta fall speglar aktivitetskoefficienterna vid x ₁ =0,5. När A=0 är aktivitetskoefficienterna enhet, vilket beskriver en idealisk blandning .

Rekommenderade värden

Ett omfattande utbud av rekommenderade värden för Van Laar-koefficienterna finns i litteraturen. Valda värden finns i tabellen nedan.

Systemet	En 12	A 21
Aceton(1)-kloroform(2)	-0,8643	-0,5899
Aceton(1)-metanol(2)	0,6184	0,5797
Aceton(1)-Vatten(2)	2,1041	1,5555
Koltetraklorid(1)-bensen (2)	0,0951	0,0911
Kloroform(1)-metanol(2)	0,9356	1,8860
Etanol(1)-bensen(2)	1,8570	1,4785
Etanol(1)-vatten(2)	1,6798	0,9227