Vändbar Markov-kedja Monte Carlo

I beräkningsstatistik är Markov-kedjan Monte Carlo med reversibel hoppning en förlängning av standardmetoden för Markov-kedjan Monte Carlo (MCMC), introducerad av Peter Green , som möjliggör simulering av den bakre fördelningen på utrymmen med olika dimensioner . Därmed är simuleringen möjlig även om antalet parametrar i modellen inte är känt.

Låta

$n_{m}\in N_{m}=\{1,2,\ldots ,I\}\,$

vara en modellindikator och M $\displaystyle M=\bigcup _{n_{m}=1}^{I}\mathbb {R} ^{d_{m}}$ } parameterutrymme vars antal dimensioner $d_{m}$ beror på modellen $n_{m}$ . Modellindikeringen behöver inte vara ändlig . Den stationära fördelningen är den gemensamma posteriora fördelningen av $(M,N_{m})$ som tar värdena $(m,n_{m})$ .

Förslaget $m'$ kan konstrueras med en mappning $g_{1mm'}$ av $m$ och $u$ , där $u$ dras från en slumpmässig komponent $U$ med densitet $q$ på $\mathbb {R} ^{d_{mm'}}$ . Flytten till tillstånd $(m',n_{m}')$ kan alltså formuleras som

$(m',n_{m}')=(g_{1mm'}(m,u) ,n_{m}')\,$

Funktionen

$\displaystyle g_{mm'}:={\Bigg (}(m,u)\mapsto {\bigg (}(m',u')={\big (}g_{1mm'}(m,u),g_{ 2mm'}(m,u){\big )}{\bigg )}{\Bigg )}\,}$

måste vara en till en och differentierbar och ha ett stöd som inte är noll:

$\mathrm {supp} (g_{mm'})\neq \varnothing \,$

så att det finns en omvänd funktion

$g_{mm'}^{-1}=g_{m'm}\,$

det är differentierbart. Därför $(m,u)$ och $(m',u')$ ha samma dimension, vilket är fallet om dimensionskriteriet

$d_{m}+d_{mm'}=d_{m'}+d_{m'm}\,$

uppfylls där $d_{mm'}$ är dimensionen för $u$ . Detta kallas dimensionsmatchning .

Om ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{m}}\subset \mathbb {R} ^{d_{m'}}} så$ kan dimensionsmatchningsvillkoret reduceras till

$d_{m}+d_{mm'}=d_{m'}\,$

med

$(m,u)=g_{m'm}(m).\,$

Sannolikheten för acceptans ges av

$a(m,m')=\min \left(1,{\frac {p_{m'm}p_{m '}f_{m'}(m')}{p_{mm'}q_{mm'}(m,u)p_{m}f_{m}(m)}}\left|\det \left({ \frac {\partial g_{mm'}(m,u)}{\partial (m,u)}}\right)\right|\right),$

där $|\cdot |$ anger det absoluta värdet och $p_{m}f_{m}$ är den posteriora ledsannolikheten

$p_{m}f_{m}=c^{-1}p( y|m,n_{m})p(m|n_{m})p(n_{m}),\,$

där $c$ är normaliseringskonstanten.

Programvarupaket

Det finns ett experimentellt RJ-MCMC-verktyg tillgängligt för BUGs -paketet med öppen källkod.

Gen probabilistiskt programmeringssystem automatiserar beräkningen av acceptanssannolikhet för användardefinierade reversibla MCMC-kärnor som en del av dess Involution MCMC-funktion .