Uträtningsteorem för vektorfält

I differentialkalkyl anger domänriktningssatsen att, givet ett vektorfält $X$ på ett grenrör , finns det lokala koordinater ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_$ , så att $X=\partial /\partial y_{1}$ i närheten av en punkt där $X$ inte är noll. Satsen är också känd som att räta ut ur ett vektorfält .

Frobenius -satsen i differentialgeometri kan betraktas som en högredimensionell generalisering av denna sats.

Bevis

Det är tydligt att vi bara behöver hitta sådana koordinater vid 0 i $\mathbb {R} ^{n}$ . Först skriver vi $X=\summa _{j}f_{j}(x){\partial \over \partial x_{j}}$ där ${ \displaystyle x}$ är något koordinatsystem vid $0$ . Låt $f=(f_{1},\dots ,f_{n})$ . Genom linjär förändring av koordinater kan vi anta $f(0)=(1,0,\dots ,0).$ Låt $\Phi (t,p)$ vara lösningen på initialvärdesproblemet ${\dot {x}}=f(x),x(0)=p$ och låt

$\psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\Phi (x_{1},(0,x_{2},\dots,x_{n})).$

$\Phi$ (och därmed $\psi$ ) är jämn genom jämnt beroende av initiala villkor i vanliga differentialekvationer. Det följer att

${\partial \over \partial x_{1}}\psi (x)=f(\psi (x))$ ,

och eftersom $\psi (0,x_{ 2},\dots ,x_{n})=\Phi (0,(0,x_{2},\dots ,x_{n}))=(0,x_{2},\dots ,x_{n} )$ , differentialen $d\psi$ är identiteten vid $0$ . Således $y=\psi ^{-1}(x)$ ett koordinatsystem vid $0$ . Slutligen, eftersom $x=\psi (y)$ , har vi: ${\displaystyle {\ partiell x_{j} \over \partial y_{1}}=f_{j}(\psi (y))=f_{j}(x)} och så ∂$ ∂ $displaystyle {\partial \ över \partial y_{1}}=X}$ efter behov.

• Sats B.7 i Camille Laurent-Gengoux, Anne Pichereau, Pol Vanhaecke. Poisson Structures , Springer, 2013.