Utjämnad oktagon

En slätad oktagon.

Familjen av maximalt täta packningar av den utjämnade oktagonen.

Den utjämnade oktagonen är en region i planet som hittades av Karl Reinhardt 1934 och av honom antas ha den lägsta maximala packningsdensiteten av planet av alla centralt symmetriska konvexa former. Den upptäcktes också självständigt av Kurt Mahler 1947. Den är konstruerad genom att ersätta hörnen på en vanlig oktagon med en sektion av en hyperbel som tangerar de två sidorna intill hörnet och asymptotisk till sidorna intill dessa.

Konstruktion

Den utjämnade oktagonens hörn kan hittas genom att rotera tre vanliga oktagoner vars mittpunkter bildar en triangel med konstant area.

Formen på den utjämnade oktagonen kan härledas från dess packningar, som placerar oktagoner vid punkterna i ett triangulärt gitter. Kravet på att dessa packningar har samma densitet oavsett hur gallret och den utjämnade oktagonen roteras i förhållande till varandra, med former som förblir i kontakt med varje angränsande form, kan användas för att bestämma formen på hörnen. En av figurerna visar tre oktagoner som roterar medan arean av triangeln som bildas av deras centra förblir konstant, och håller dem packade så tätt som möjligt. För vanliga oktagoner skulle de röda och blå formerna överlappa varandra, så för att rotationen ska kunna fortsätta klipps hörnen till en punkt som ligger halvvägs mellan deras centra, vilket genererar den erforderliga kurvan, som visar sig vara en hyperbel.

Konstruktion av den utjämnade oktagonen (svart), tangenthyperbeln (röd) och asymptoterna för denna hyperbel (grön) och tangentsidorna till hyperbeln (blå).

Hyperbeln är konstruerad tangent till två sidor av oktagonen, och asymptotisk till de två som gränsar till dessa. Följande detaljer gäller för en vanlig oktagon av circumradius ${\sqrt {2}}$ med dess mitt i punkten $(2+{\sqrt {2}},0)$ och en vertex i punkten $(2,0)$ . För två konstanter $\ell ={\sqrt {2}}-1$ och $m=(1/2)^{1/4 }$ , hyperbeln ges av ekvationen

$$\ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}$$

eller motsvarande parametrering (endast för den högra grenen)

$${\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t} \\\end{aligned}}$$

för den del av hyperbeln som utgör hörnet, givet av intervallet av parametervärden

$$-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.$$

Linjerna i oktagonens tangent till hyperbeln är $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x- 2\right)$ , och de asymptotiska linjerna till hyperbeln är helt enkelt $y=\pm \ell x$ .

Förpackning

Den utjämnade oktagonen har en maximal packningstäthet som ges av

$${\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0,902414\,.$$

Detta är lägre än den maximala packningsdensiteten för cirklar, dvs

$${\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0,906899.$$

Den maximala kända packningsdensiteten för den vanliga reguljära oktagonen är

$${\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0,906163,$$

också något mindre än den maximala packningsdensiteten för cirklar, men högre än den för den utjämnade oktagonen.

Olöst problem i matematik :

Är den utjämnade oktagonen den centralt symmetriska formen med den lägsta maximala packningsdensiteten?

(fler olösta problem i matematik)

Den utjämnade oktagonen uppnår sin maximala packningstäthet, inte bara för en enda packning, utan för en 1-parameters familj. Alla dessa är gallerpackningar . Reinhardts gissning att den utjämnade oktagonen har den lägsta maximala packningsdensiteten av alla centralt symmetriska konvexa former i planet förblir olöst. Om central symmetri inte krävs har den vanliga heptagonen ännu lägre packningsdensitet, men dess optimalitet är också obevisad. I tre dimensioner Ulams packningsförmodan att ingen konvex form har en lägre maximal packningsdensitet än kulan.

externa länkar

• Den tunnaste tätaste tvådimensionella packningen? . Peter Scholl, 2001.