U-rank

I modellteori , en gren av matematisk logik, är U-rank ett mått på komplexiteten hos en (komplett) typ , i samband med stabila teorier . Som vanligt indikerar högre U-rank mindre restriktion, och förekomsten av en U-rank för alla typer över alla set motsvarar ett viktigt modellteoretiskt tillstånd: i det här fallet superstabilitet .

Definition

U-rank definieras induktivt, enligt följande, för varje (komplett) n-typ p över vilken som helst uppsättning A:

U ( p ) ≥ 0
Om δ är en gränsordinal, då U ( p ) ≥ δ exakt när U ( p ) ≥ α för alla α mindre än δ
För alla α = β + 1, U ( p ) ≥ α exakt när det finns en gaffelförlängning q av p med U ( q ) ≥ β

Vi säger att U ( p ) = α när U ( p ) ≥ α men inte U ( p ) ≥ α + 1.

Om U ( p ) ≥ α för alla ordinaler α , säger vi att U-rankningen är obegränsad, eller U ( p ) = ∞.

Notera: U-rank betecknas formellt $U_{n}(p)$ , där p verkligen är p(x), och x är en tuppel av variabler med längden n. Denna prenumeration utelämnas vanligtvis när ingen förvirring kan uppstå.

Ranking teorier

U-rank är monoton i sin domän. Det vill säga, anta att p är en komplett typ över A och B är en delmängd av A . Sedan för q begränsningen av p till B , U ( q ) ≥ U ( p ).

Om vi tar B (ovan) för att vara tom, så får vi följande: om det finns en n -typ p , över någon uppsättning parametrar, med rang åtminstone α , så finns det en typ över den tomma uppsättningen av rang vid minst α . Således kan vi definiera, för en komplett (stabil) teori T , $U_{n}(T)=\sup\ {U_{n}(p):p\in S(T)\}$ .

Vi får då en kortfattad karaktärisering av superstabilitet; en stabil teori T är superstabil om och endast om $U_{n}(T)<\infty$ för varje n .

Egenskaper

Som nämnts ovan är U-rank monoton i sin domän.
Om p har U-rank α , så finns det för någon β < α , en gaffelförlängning q av p med U-rank β .
Om p är typen av b över A , finns det någon mängd B som sträcker sig A , med q typen av b över B .
Om p är orankad (det vill säga p har U-rankning ∞), så finns det en gaffelförlängning q av p som också är orankad.
Även i frånvaro av superstabilitet finns det en ordinal β som är den maximala rangordningen för alla rangordnade typer, och för alla α < β , finns det en typ p av rang α , och om rangordningen för p är större än β , då det måste vara ∞.

Exempel

U ( p ) > 0 exakt när p är icke-algebraisk.
Om T är teorin för algebraiskt slutna fält (med vilken fast egenskap som helst) så är $U_{1}(T)=1$ . Vidare, om A är någon uppsättning parametrar och K är fältet som genereras av A , så har en 1-typ p över A rang 1 om (alla realiseringar av) p är transcendentala över K , och 0 annars. Mer generellt har en n -typ p över A U-rank k , transcendensgraden (över K ) för varje realisering av den.

Pillay, Anand (2008) [1983]. En introduktion till stabilitetsteori . Dover. sid. 57. ISBN 978-0-486-46896-9 .