Tyngdpunkter i olikformiga fält

Inom fysiken är en tyngdpunkt för en materiell kropp en punkt som kan användas för en sammanfattande beskrivning av gravitationsinteraktioner. I ett enhetligt gravitationsfält fungerar masscentrum som tyngdpunkten . Detta är en mycket bra uppskattning för mindre kroppar nära jordens yta, så det finns inget praktiskt behov av att skilja "tyngdpunkt" från "massacentrum" i de flesta applikationer, såsom teknik och medicin.

I ett olikformigt fält kan gravitationseffekter som potentiell energi , kraft och vridmoment inte längre beräknas med enbart masscentrum. I synnerhet kan ett ojämnt gravitationsfält producera ett vridmoment på ett föremål, även runt en axel genom masscentrum. Tyngdpunkten försöker förklara denna effekt. Formellt är en tyngdpunkt en appliceringspunkt för den resulterande gravitationskraften på kroppen. En sådan punkt kanske inte finns, och om den finns är den inte unik. Man kan vidare definiera en unik tyngdpunkt genom att approximera fältet som antingen parallellt eller sfäriskt symmetriskt.

Begreppet en tyngdpunkt som skiljer sig från massacentrum används sällan i applikationer, även i himmelsmekanik , där olikformiga fält är viktiga. Eftersom tyngdpunkten beror på det yttre fältet är dess rörelse svårare att bestämma än massacentrums rörelse. Den vanliga metoden för att hantera gravitationsmoment är en fältteori.

Masscentrum

Huvudartikel: Masscentrum

Ett sätt att definiera en kropps tyngdpunkt är som den unika punkten i kroppen om den finns, som uppfyller följande krav: Det finns inget vridmoment kring punkten för någon positionering av kroppen i kraftfältet där den är placerad. Denna tyngdpunkt existerar endast när kraften är likformig, i vilket fall den sammanfaller med masscentrum. Detta tillvägagångssätt går tillbaka till Arkimedes .

Tyngdpunkter i ett fält

När en kropp påverkas av ett ojämnt yttre gravitationsfält kan man ibland definiera en tyngdpunkt i förhållande till det fältet som kommer att fungera som en punkt där gravitationskraften appliceras. Läroböcker som The Feynman Lectures on Physics karakteriserar tyngdpunkten som en punkt där det inte finns något vridmoment. Tyngdpunkten är med andra ord en tillämpningspunkt för den resulterande kraften. definieras tyngdpunkten r _{cg som en punkt som uppfyller ekvationen}

$\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }\times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }},$

där F och τ är den totala kraften och vridmomentet på kroppen på grund av gravitationen.

En komplikation när det gäller rcg är att _dess definierande ekvation inte är allmänt lösbar. Om F och τ inte är ortogonala , så finns det ingen lösning; tyngdkraften har ingen resultant och kan inte ersättas av en enda kraft vid någon punkt. Det finns några viktiga specialfall där F och τ garanterat är ortogonala, till exempel om alla krafter ligger i ett enda plan eller är i linje med en enda punkt.

Om ekvationen är lösbar finns det en annan komplikation: dess lösningar är inte unika. Istället finns det oändligt många lösningar; uppsättningen av alla lösningar är känd som kraftens verkningslinje . Denna linje är parallell med vikten F . I allmänhet finns det inget sätt att välja en viss punkt som den unika tyngdpunkten. En enda punkt kan fortfarande väljas i vissa speciella fall, till exempel om gravitationsfältet är parallellt eller sfäriskt symmetriskt. Dessa fall behandlas nedan.

Parallella fält

En del av inhomogeniteten i ett gravitationsfält kan modelleras av ett variabelt men parallellt fält: g ( r ) = g ( r ) n , där n är någon konstant enhetsvektor. Även om ett ojämnt gravitationsfält inte kan vara exakt parallellt, kan denna approximation vara giltig om kroppen är tillräckligt liten. Tyngdpunkten kan då definieras som ett visst viktat medelvärde av placeringen av partiklarna som utgör kroppen. Medan masscentrum är i genomsnitt över massan av varje partikel, är tyngdpunkten i genomsnitt över vikten av varje partikel:

$\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i} \mathbf {r} _{i},$

där w _i är (skalär) vikten av den i: te partikeln och W är (skalär) totalvikten av alla partiklar. Denna ekvation har alltid en unik lösning, och i parallellfältsapproximationen är den kompatibel med vridmomentkravet.

En vanlig illustration rör månen i jordens fält . Med hjälp av det viktade genomsnittsdefinitionen har månen en tyngdpunkt som är lägre (närmare jorden) än dess massa, eftersom dess nedre del är starkare påverkad av jordens tyngdkraft. Detta ledde så småningom till att månen alltid visar samma ansikte, ett fenomen som kallas tidvattenlåsning .

Sfäriskt symmetriska fält

Om det yttre gravitationsfältet är sfäriskt symmetriskt, så är det ekvivalent med fältet för en punktmassa M i symmetricentrum r . I detta fall kan tyngdpunkten definieras som den punkt där den totala kraften på kroppen ges av Newtons lag :

${\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }- \mathbf {r} |^{3}}}=\mathbf {F} ,$

där G är gravitationskonstanten och m är kroppens massa. Så länge den totala kraften inte är noll har denna ekvation en unik lösning och den uppfyller vridmomentkravet. Ett bekvämt inslag i denna definition är att om kroppen själv är sfäriskt symmetrisk, så _{ligger rcg} i dess masscentrum. I allmänhet, när avståndet mellan r och kroppen ökar, närmar sig tyngdpunkten masscentrum.

Ett annat sätt att se denna definition är att överväga kroppens gravitationsfält; då r _cg den skenbara källan till gravitationsattraktion för en observatör som är placerad vid r . Av denna anledning r _cg som tyngdpunkten för M i förhållande till punkten r .

Användande

Tyngdpunkterna som definieras ovan är inte fasta punkter på kroppen; snarare ändras de när kroppens position och orientering ändras. Denna egenskap gör tyngdpunkten svår att arbeta med, så konceptet har liten praktisk användning.

När det är nödvändigt att överväga ett gravitationsmoment är det lättare att representera gravitationen som en kraft som verkar i masscentrum, plus ett orienteringsberoende par . Det senare är bäst att närma sig genom att behandla gravitationspotentialen som ett fält .

Anteckningar

•   Asimov, Isaac (1988) [1966], Understanding Physics , Barnes & Noble Books, ISBN 0-88029-251-2
•   Beatty, Millard F. (2006), Principles of Engineering Mechanics, Volym 2: Dynamics—The Analysis of Motion , Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, vol. 33, Springer, ISBN 0-387-23704-6
•   Feynman, Richard ; Leighton, Robert B. ; Sands, Matthew (1963), The Feynman Lectures on Physics , vol. 1 (Sjätte tryckningen, februari 1977 utg.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-02010-6
•   Frautschi, Steven C .; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M. ; Goodstein, David L. (1986), The Mechanical Universe: Mechanics and heat, avancerad utgåva , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30432-6
•   Goldstein, Herbert ; Poole, Charles; Safko, John (2002), Classical Mechanics (3:e upplagan), Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3
•   Goodman, Lawrence E.; Warner, William H. (2001) [1964], Statics , Dover, ISBN 0-486-42005-1
•   Hamill, Patrick (2009), Intermediate Dynamics , Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1
•   Jong, IG; Rogers, BG (1995), Engineering Mechanics: Statics , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-026309-3
• Millikan, Robert Andrews (1902), Mechanics, molecular physics and heat: a 12 weeks' college course , Chicago: Scott, Foresman and Company , hämtad 25 maj 2011
•   Pollard, David D.; Fletcher, Raymond C. (2005), Fundamentals of structural geology , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83927-3
•   Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010), Engineering Mechanics: Statics , vol. 1 (3:e upplagan), Cengage Learning, ISBN 978-0-495-29559-4
•   Rosen, Joe; Gothard, Lisa Quinn (2009), Encyclopedia of Physical Science , Infobase Publishing, ISBN 978-0-8160-7011-4
•   Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principles of physics: a calculus-based text , vol. 1 (4:e upplagan), Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J , ISBN 0-534-49143-X
•   Shirley, James H.; Fairbridge, Rhodes Whitmore (1997), Encyclopedia of planetary sciences , Springer, ISBN 0-412-06951-2
•   De Silva, Clarence W. (2002), Vibration and shock handbook , CRC Press, ISBN 978-0-8493-1580-0
•   Symon, Keith R (1964), Mekanik. , Addison-Wesley Pub. Co., OCLC 1080783137
  •   Symon, Keith R. (1971), Mechanics , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8
•   Tipler, Paul A.; Mosca, Gene (2004), Physics for Scientists and Engineers , vol. 1A (5:e upplagan), WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0900-7