Tunnells teorem

I talteorin ger Tunnells teorem en partiell upplösning till det kongruenta talproblemet , och enligt Birch och Swinnerton-Dyer-förmodan en fullständig upplösning.

Problem med kongruent nummer

Problemet med kongruenta tal frågar vilka positiva heltal som kan vara arean av en rätvinklig triangel med alla tre sidor rationella. Tunnells teorem relaterar detta till antalet integrallösningar av några ganska enkla diofantiska ekvationer .

Sats

För ett givet kvadratfritt heltal n , definiera

{\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{ 2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2} +y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x ^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\ mitten av n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}

Tunnells teorem säger att om n är ett kongruent tal, om n är udda så är 2 A _n = B _n och om n är jämnt då 2 C _n = D _n . Omvänt, om Birch- och Swinnerton-Dyer- förmodan gäller för elliptiska kurvor av formen $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ , dessa likheter är tillräckliga för att dra slutsatsen att n är ett kongruent tal.

Historia

Satsen är uppkallad efter Jerrold B. Tunnell , en talteoretiker vid Rutgers University , som bevisade det i Tunnell (1983) .

Betydelse

Vikten av Tunnells teorem är att kriteriet det ger är testbart med en finit beräkning. Till exempel, för ett givet $n$ kan talen $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}$ beräknas genom att uttömmande söka igenom $x,y,z$ i intervallet $-{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n} }$ .

Se även

Koblitz, Neal (2012), Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former , Graduate Texts in Mathematics (Book 97) (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7
Tunnell, Jerrold B. (1983), "A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2" , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, doi : 10.1007/BF01389327 , hdl : 708mlcz/708ml