Tukey djup

Inom statistik och beräkningsgeometri är Tukey -djupet ett mått på djupet av en punkt i en fast uppsättning punkter. Konceptet är uppkallat efter dess uppfinnare, John Tukey . Givet en uppsättning av n punkter ${\mathcal {X}}_{n}=\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$ i d -dimensionellt utrymme är Tukeys djup av en punkt x den minsta bråkdelen (eller antalet) punkter i något stängt halvrum som innehåller x .

Tukeys djup mäter hur extrem en punkt är med avseende på ett punktmoln. Det används för att definiera bagplotten , en bivariat generalisering av boxplotten .

Till exempel, för varje ytterpunkt av det konvexa skrovet finns det alltid ett (slutet) halvutrymme som bara innehåller den punkten, och därför är dess Tukey-djup som en bråkdel 1/n.

Definitioner

Tukeys djup av en punkt x wrt till ett punktmoln. Det blå området illustrerar ett halvutrymme som innehåller x på gränsen. Halvrymden är också den mest extrema så att den innehåller x men så få observationer i punktmolnet som möjligt. Således blir andelen punkter som finns i detta halvrum värdet av Tukeys djup för x.

Exempel på Tukeys djup av punkt x , eller Tukeys djup av x med avseende på punktmolnet ${\mathcal {X}}_{n}$ , definieras som

$D(x;{\mathcal { X}}_{n})=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}{\frac {1}{n}}\summa _{i= 1}^{n}\mathbf {1} \{v^{T}(X_{i}-x)\geq 0\},$

där $\mathbf {1} \{\cdot \}$ är indikatorfunktionen som är lika med 1 om dess argument är sant eller 0 annars.

Population Tukeys djup av x wrt till en fördelning $P_{X}$ är

$D(x;P_{X})=\inf _{v\ i \mathbb {R} ^{d},\|v\|=1}P(v^{T}(Xx)\geq 0),$

där X är en slumpvariabel som följer fördelningen $P_{X}$ .

Tukey medelvärde och relation till mittpunkt

En mittpunkt c för en punktuppsättning av storlek n är inget annat än en punkt med Tukey-djup på minst n /( d + 1).

Se även

• Centerpoint (geometri)