Tuckers nedbrytning

Inom matematik bryter Tuckers nedbrytning ner en tensor till en uppsättning matriser och en liten kärntensor. Den är uppkallad efter Ledyard R. Tucker även om den går tillbaka till Hitchcock 1927. Beskrevs från början som en trelägesutvidgning av faktoranalys och principalkomponentanalys, kan den faktiskt generaliseras till högre lägesanalys, som också kallas högre ordningens singular. värdenedbrytning (HOSVD).

Den kan ses som en mer flexibel PARAFAC (parallell faktoranalys) modell. I PARAFAC är kärntensorn begränsad till att vara "diagonal".

I praktiken används Tucker-nedbrytning som ett modelleringsverktyg. Till exempel används den för att modellera trevägs (eller högre) data med hjälp av ett relativt litet antal komponenter för vart och ett av de tre eller flera lägena, och komponenterna är länkade till varandra genom en tre- (eller högre) ) way core array. Modellparametrarna uppskattas på ett sådant sätt att, givet ett fast antal komponenter, den modellerade datan optimalt liknar den faktiska datan i minsta kvadraters mening. Modellen ger en sammanfattning av informationen i data, på samma sätt som huvudkomponentanalys gör för tvåvägsdata.

För en 3:e ordningens tensor ${\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}} ,$ där $F$ är antingen $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ , Tucker Decomposition kan betecknas enligt följande,

T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{ 2}U^{(2)}\ gånger _{3}U^{(3)}

där

{\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}

är kärntensorn , en 3:e ordningens tensor som innehåller 1-läges-, 2-läges- och 3-lägessingularvärdena för

T

, som definieras som Frobenius-normen för 1-läges-, 2-läges- och 3-lägessnitten av tensor

{\mathcal {T}}

respektive.

U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}

är enhetliga matriser i

F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^ {d_{3}\ gånger n_{3}}

respektive. Produkten j -läge ( j = 1, 2, 3) av

{\mathcal {T}}

med

U^{(j)}

betecknas som

{\mathcal {T}}\times U^{(j)}

med poster som

{\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1 )})(n_{1},d_{2},d_{3})&=\summa _{i_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(i_{1 },d_{2},d_{3})U^{(1)}(i_{1},n_{1})\\({\mathcal {T}}\ gånger _{2}U^{( 2)})(d_{1},n_{2},d_{3})&=\summa _{i_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(d_{ 1},i_{2},d_{3})U^{(2)}(i_{2},n_{2})\\({\mathcal {T}}\ gånger _{3}U^{ (3)})(d_{1},d_{2},n_{3})&=\summa _{i_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(d_ {1},d_{2},i_{3})U^{(3)}(i_{3},n_{3})\end{aligned}}

Att ta $d_{i}=n_{i}$ för all $i$ är alltid tillräckligt för att representera $T$ exakt, men ofta kan ${\displaystyle T} vara$ komprimeras eller effektivt ungefär genom att välja $d_{i}<n_{i}$ . Ett vanligt val är $d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1}, n_{2},n_{3})$ , vilket kan vara effektivt när skillnaden i dimensionsstorlekar är stor.