Trunkerad normal häckmodell

Inom ekonometri är den trunkerade normala hindermodellen en variant av Tobit-modellen och föreslogs först av Cragg 1971.

I en standard Tobit-modell, representerad som ${\displaystyle y=(x\beta +u)1[x\beta +u>0]} ,$ där $u|x\sim N(0,\sigma ^{2})$ Denna modellkonstruktion inför implicit två första ordningens antaganden:

1. Eftersom: $\partial P[y>0]/\partial x_{j}=\varphi (x\beta / \sigma )\beta _{j}/\sigma$ och ${\displaystyle \partial \operatorname { E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}=\beta _{j}\{1-\theta (x\beta /\sigma \}} , den partiella effekten$ av ${ \displaystyle x_{j}}$ på sannolikheten $P[y>0]$ och den villkorliga förväntan: $\operatorname {E} [y \mid x,y>0]$ har samma tecken:
2. De relativa effekterna av $x_{h}$ och $x_{j}$ på $P[y>0]$ och $\operatorname {E} [y\mid x,y>0]$ är identiska, dvs:

${\frac {\partial P[y>0]/\partial x_{h}}{\partial P[y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\partial \operatörsnamn {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{h}}{\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}}}={ \frac {\beta _{h}}{\beta _{j}}}|$

Dessa två implicita antaganden är dock för starka och oförenliga med många sammanhang inom ekonomi . Till exempel, när vi behöver bestämma oss för om vi ska investera och bygga en fabrik, kan byggkostnaden vara mer inflytelserik än produktpriset ; men när vi redan har byggt fabriken är produktpriset definitivt mer inflytelserik för intäkterna . Det implicita antagandet (2) stämmer därför inte med detta sammanhang. Kärnan i denna fråga är att standarden Tobit implicit modellerar en mycket stark koppling mellan deltagandebeslutet ( $\displaystyle (y=0}$ eller $y>0)$ och beloppsbeslutet (storheten av $y$ när $y>0$ ). Om en hörnlösningsmodell representeras i en generell form: $y=s\centerdot w,$ , där $s$ är deltagandebeslutet och $w$ är Beloppsbeslut, standard Tobit-modellen antar:

$s=1[x\beta +u>0];$

$w=x\beta +u.$

För att göra modellen kompatibel med fler sammanhang är en naturlig förbättring att anta:

$s=1[x\gamma +u>0],{\text{ där }}u\sim N(0,1);$

$w=x\beta +e,$ där feltermen ( $e$ ) är fördelad som en trunkerad normalfördelning med en densitet som $\varphi (\cdot )/\Phi \left({\frac {x\beta }{\sigma }}\right)/\sigma ;$

$s$ och $w$ är oberoende villkorade av $x$ .

Detta kallas Truncated Normal Hurdle Model, vilket föreslås i Cragg (1971). Genom att lägga till en parameter till och koppla loss beloppsbeslutet med deltagandebeslutet kan modellen passa fler sammanhang. Under denna modellinställning densiteten för $y$ given $x$ skrivas som:

$f(y\mid x)=[1-\Phi (\chi \gamma )]^{1[y=0]}\cdot \left[{\frac {\Phi \ (\chi \gamma )}{\Phi (\chi \beta /\sigma )}}\left.\varphi \left({\frac {y-\chi \beta }{\sigma }}\right)\right/\sigma \right ]^{1[y>0]}$

Från denna densitetsrepresentation är det uppenbart att den kommer att degenerera till standard Tobit-modellen när $\gamma =\beta /\sigma .$ Detta visar också att Trunkated Normal Hinder Model är mer generell än standard Tobit-modellen.

Den trunkerade normala hindermodellen uppskattas vanligtvis genom MLE. Log-likelihood-funktionen kan skrivas som:

${\begin{aligned} \ell (\beta ,\gamma ,\sigma )={}&\summa _{i=1}^{N}1[y_{i}=0]\log[1-\Phi (x_{i}\ gamma )]+1[y_{i}>0]\log[\Phi (x_{i}\gamma )]\\[5pt]&{}+1[y_{i}>0]\vänster[-\ log \left[\Phi \left({\frac {x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right]+\log \left(\varphi \left({\frac {y_{i} -x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right)-\log(\sigma )\right]\end{aligned}}$

Från log-likelihood-funktionen kan $\gamma$ uppskattas med en probitmodell och $(\beta ,\sigma )$ kan uppskattas med en trunkerad normal regressionsmodell. Baserat på uppskattningarna kan konsekventa uppskattningar för den genomsnittliga partiella effekten uppskattas på motsvarande sätt.

Se även

• Häck modell
• Tobit modell