Trigonometri av en tetraeder

Trigonometrin för en tetraeder förklarar sambanden mellan längderna och olika typer av vinklar för en allmän tetraeder .

Trigonometriska storheter

Klassiska trigonometriska storheter

Följande är trigonometriska kvantiteter som vanligtvis förknippas med en allmän tetraeder:

• De 6 kantlängderna - associerade med tetraederns sex kanter.
• De 12 ansiktsvinklarna - det finns tre av dem för var och en av tetraederns fyra ytor.
• De 6 dihedriska vinklarna - associerade med de sex kanterna på tetraedern, eftersom alla två ytor på tetraedern är förbundna med en kant.
• De 4 solida vinklarna - associerade med varje punkt i tetraedern.

Låt $X={\overline {P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}}$ vara en allmän tetraeder, där $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ är godtyckliga punkter i det tredimensionella rummet .

Låt vidare $e_{ij}$ vara kanten som förenar $P_{i}$ och $P_{j}$ och låt $F_{i }$ vara tetraederns yta mittemot punkten $P_{i}$ ; med andra ord:

• $e_{ij}={\overline {P_{i}P_{j}}}$
• $F_{i}={\overline {P_{j}P_{k}P_{l}}}$

där $i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}$ och $i\neq j\neq k\neq l$ .

Definiera följande kvantiteter:

• $d_{ij}$ = längden på kanten $e_{ij}$
• $\alpha _{i,j}$ = ansiktsvinkeln vid punkten $P_{i}$ på ytan $F_{j}$
• $\theta _{ij}$ = den dihedriska vinkeln mellan två ytor som gränsar till kanten $e_{ij}$
• $\Omega _{i}$ = rymdvinkeln vid punkten $P_{i}$

Yta och volym

Låt $\Delta _{i}$ vara arean av ansiktet $F_{i}$ . Sådan yta kan beräknas med Herons formel (om alla tre kantlängderna är kända):

$\Delta _{i}={\sqrt {\frac {(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl }+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}}$

eller med följande formel (om en vinkel och två motsvarande kanter är kända):

$\Delta _{i}={\frac {1}{2}}d_{jk}d_{jl}\sin \alpha _ {j,i}$

Låt $h_{i}$ vara höjden från punkten $P_{i}$ till ytan $F_{i}$ . Volymen $V$ för tetraedern $\displaystyle X}$ { ges av följande formel:

$$V={\frac {1}{3}}\Delta _{i}h_{i}$$

Den uppfyller följande förhållande:

$288V^{2}={\begin{vmatrix}2Q_{12}&Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}\\Q_ {12}+Q_{13}-Q_{23}&2Q_{13}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}\\Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}&Q_{13 }+Q_{14}-Q_{34}&2Q_{14}\end{vmatrix}}$

där $Q_{ij}=d_{ij}^{2}$ är kvadranserna (längden i kvadrat) på kanterna.

Grundläggande påståenden om trigonometri

Affin triangel

Ta ansiktet $F_{i}$ ; kanterna kommer att ha längderna $d_{jk},d_{jl},d_{kl}$ och de respektive motsatta vinklarna ges av $\alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}$ .

De vanliga lagarna för plan trigonometri i en triangel gäller för denna triangel.

Projektiv triangel

Betrakta den projektiva (sfäriska) triangeln vid punkten $P_{i}$ ; hörnen i denna projektiva triangel är de tre linjerna som förenar $P_{i}$ med de andra tre hörnen i tetraedern. Kanterna kommer att ha sfäriska längder $\alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}$ och de respektive motsatta sfäriska vinklarna ges av $\theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}$ .

De vanliga lagarna för sfärisk trigonometri gäller för denna projektiva triangel.

Lagar för trigonometri för tetraedern

Alternerande sinussats

Ta tetraedern $X$ och betrakta punkten $P_{i}$ som en spets. Den alternerande sinussatsen ges av följande identitet:

$${ \displaystyle \sin(\alpha _{j,l})\sin(\alpha _{k,j})\sin(\alpha _{l,k})=\sin(\alpha _{j,k} )\sin(\alpha _{k,l})\sin(\alpha _{l,j})}$$

Man kan se de två sidorna av denna identitet som motsvarande medurs och moturs orientering av ytan.

Utrymmet för alla former av tetraedrar

Att sätta någon av de fyra hörnen i rollen som O ger fyra sådana identiteter, men högst tre av dem är oberoende; om "medurs" sidorna av tre av de fyra identiteterna multipliceras och produkten antas vara lika med produkten av "moturs" sidorna av samma tre identiteter, och sedan gemensamma faktorer avbryts från båda sidor, blir resultatet den fjärde identiteten.

Tre vinklar är vinklarna för någon triangel om och endast om deras summa är 180° (π radianer). Vilket villkor på 12 vinklar är nödvändigt och tillräckligt för att de ska vara de 12 vinklarna för någon tetraeder? Helt klart måste summan av vinklarna på vilken sida av tetraedern som helst vara 180°. Eftersom det finns fyra sådana trianglar finns det fyra sådana begränsningar på vinklarummor och antalet frihetsgrader reduceras därigenom från 12 till 8. De fyra relationer som ges av sinuslagen minskar antalet frihetsgrader ytterligare, fr.o.m. 8 ner till inte 4 utan 5, eftersom den fjärde begränsningen inte är oberoende av de tre första. Alltså är utrymmet för alla former av tetraedrar 5-dimensionellt.

Sinuslagen för tetraedern

Se: sinuslagen

Cosinuslagen för tetraedern

Lagen för cosinus för tetraedern relaterar områdena för varje yta av tetraedern och de dihedrala vinklarna runt en punkt. Det ges av följande identitet:

${\ displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _ {j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l }\cos \theta _{ij})}$

Förhållandet mellan dihedriska vinklar av tetraeder

Ta den allmänna tetraedern $X$ och projicera ytorna $F_{i},F_{j},F_{k}$ på planet med ansiktet ${\ displaystil F_{l}}$ . Låt $c_{ij}=\cos \theta _{ij}$ .

Då ges arean av ytan $F_{l}$ av summan av de projicerade ytorna, enligt följande:

$$\Delta _{l}=\Delta _{i}c_{jk}+\Delta _{j}c_{ik }+\Delta _{k}c_{ij}$$

Genom att ersätta $i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}$ med var och en av de fyra ytorna av tetraedern får man följande homogena system av linjära ekvationer:

$${\begin{cases}-\Delta _{1}+\Delta _{2}c_{34 }+\Delta _{3}c_{24}+\Delta _{4}c_{23}=0\\\Delta _{1}c_{34}-\Delta _{2}+\Delta _{3 }c_{14}+\Delta _{4}c_{13}=0\\\Delta _{1}c_{24}+\Delta _{2}c_{14}-\Delta _{3}+\ Delta _{4}c_{12}=0\\\Delta _{1}c_{23}+\Delta _{2}c_{13}+\Delta _{3}c_{12}-\Delta _{ 4}=0\end{cases}}$$

Detta homogena system kommer att ha lösningar just när:

$${\begin{vmatrix}-1&c_{34}&c_{24}&c_{23}\\c_{34}&-1&c_{14}&c_{13}\\c_{24}&c_{14}& -1&c_{12}\\c_{23}&c_{13}&c_{12}&-1\end{vmatrix}}=0$$

Genom att expandera denna determinant får man förhållandet mellan tetraederns dihedriska vinklar, enligt följande:

$$1-\sum _{1\leq i<j\ leq 4}c_{ij}^{2}+\sum _{j=2 \atop k\neq l\neq j}^{4}c_{1j}^{2}c_{kl}^{2}= 2\left(\sum _{i=1 \atop j\neq k\neq l\neq i}^{4}c_{ij}c_{ik}c_{il}+\summa _{2\leq j< k\leq 4 \atop l\neq j,k}c_{1j}c_{1k}c_{jl}c_{kl}\right)$$

Skev avstånd mellan kanterna på tetraedern

Ta den allmänna tetraedern $X$ och låt $P_{ij}$ vara punkten på kanten $e_{ij}$ och $P_{kl }$ vara punkten på kanten $e_{kl}$ så att linjesegmentet ${\overline {P_{ij}P_{kl}}}$ är vinkelrät mot både $e_{ij}$ och $e_{kl}$ . Låt $R_{ij}$ vara längden på linjesegmentet ${\overline {P_{ij}P_{kl}}}$ .

För att hitta $R_{ij}$ :

Konstruera först en linje genom $P_{k}$ parallell med $e_{il}$ och en annan linje genom $P_{i}$ parallell med ${\ displaystyle e_{kl}}$ . Låt $O$ vara skärningspunkten mellan dessa två linjer. Förena punkterna $O$ och $P_{j}$ . Genom konstruktion ${\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}$ ett parallellogram och därmed ${\overline {OP_{k}P_{i}}}$ och ${\overline {OP_{l}P_{i}}}$ är kongruenta trianglar. Således är tetraedern $X$ och $Y={\overline {OP_{i}P_{j}P_{k}}}$ lika i volym.

Som en konsekvens är kvantiteten $R_{ij}$ lika med höjden från punkten $P_{k}$ till ytan ${\overline {OP_{i}P_{j}}}$ av tetraedern $Y$ ; detta visas genom översättning av linjesegmentet ${\overline {P_{ij}P_{kl}}}$ .

Med volymformeln uppfyller tetraedern $Y$ följande relation:

$$3V=R_{ij}\times \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})$$

där $\Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})$ är arean av triangeln ${\overline {OP_{i}P_{j}}}$ . Eftersom längden på linjesegmentet ${\overline {OP_{i}}}$ är lika med $d_{kl}$ (som ${ \displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ är ett parallellogram):

$$\Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})={\frac {1}{ 2}}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda$$

där $\lambda =\angle OP_{i}P_{j}$ . Den tidigare relationen blir alltså:

$$6V=R_{ij}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda$$

För att få $\sin \lambda$ , överväg två sfäriska trianglar:

1. Ta den sfäriska triangeln för tetraedern $X$ vid punkten $P_{i}$ ; den kommer att ha sidorna ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}} och$ motsatta vinklar $\theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}$ . Enligt den sfäriska lagen om cosinus:
   $$\cos \alpha _{i,k} =\cos \alpha _{i,j}\cos \alpha _{i,l}+\sin \alpha _{i,j}\sin \alpha _{i,l}\cos \theta _{ik}$$
2. Ta den sfäriska triangeln för tetraedern $X$ vid punkten $P_{i}$ . Sidorna ges av $\alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda$ och den enda kända motsatta vinkeln är den för $\lambda$ , givet av $\pi -\theta _{ik}$ . Enligt den sfäriska lagen om cosinus:
   $$\cos \lambda =\cos \alpha _{i, l}\cos \alpha _{k,j}-\sin \alpha _{i,l}\sin \alpha _{k,j}\cos \theta _{ik}$$

Att kombinera de två ekvationerna ger följande resultat:

$$\cos \alpha _{i,k}\sin \alpha _{k,j}+\cos \lambda \sin \ alpha _{i,j}=\cos \alpha _{i,l}\left(\cos \alpha _{i,j}\sin \alpha _{k,j}+\sin \alpha _{i, j}\cos \alpha _{k,j}\right)=\cos \alpha _{i,l}\sin \alpha _{l,j}$$

Gör $\cos \lambda$ till ämnet:

$$\cos \lambda =\ cos \alpha _{i,l}{\frac {\sin \alpha _{l,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}-\cos \alpha _{i,k}{\ frac {\sin \alpha _{k,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}$$

Således, med hjälp av cosinuslagen och lite grundläggande trigonometri:

$$\cos \lambda ={\frac {d_{ ij}^{2}+d_{ik}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{ik}}}{\frac {d_{ik}}{d_{kl} }}-{\frac {d_{ij}^{2}+d_{il}^{2}-d_{jl}^{2}}{2d_{ij}d_{il}}}{\frac {d_ {il}}{d_{kl}}}={\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2 }}{2d_{ij}d_{kl}}}$$

Således:

$$\sin \lambda ={\sqrt {1-\left({\frac {d_{ik} ^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}\höger)^{2} }}={\frac {\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il} ^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}{2d_{ij}d_{kl}}}$$

Så:

$$R_{ij}={\frac { 12V}{\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2} -d_{jk}^{2})^{2}}}}$$

$R_{ik}$ och $R_{il}$ erhålls genom permutation av kantlängderna.

Observera att nämnaren är en omformulering av Bretschneider-von Staudt-formeln , som utvärderar arean av en allmän konvex fyrhörning.