Topologisk komplexitet

Inom matematiken är topologisk komplexitet för ett topologiskt utrymme X (även betecknat med TC( X )) en topologisk invariant som är nära kopplad till rörelseplaneringsproblemet introducerades av Michael Farber 2003.

Definition

Låt X vara ett topologiskt utrymme och $PX=\{\gamma :[0,1]\,\to \,X\}$ vara utrymmet för alla kontinuerliga banor i X . Definiera projektionen $\pi :PX\to \,X\times X$ med $\pi (\ gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))$ . Den topologiska komplexiteten är det minimala antalet k så att

• det finns ett öppet lock $\{U_{i}\}_{i=1}^{k}$ av $X\times X$ ,
• för varje $i=1,\ldots ,k$ , finns det en lokal sektion $s_{i}:\,U_{i}\to \,PX.$

Exempel

• Den topologiska komplexiteten: TC( X ) = 1 om och endast om X är sammandragbar .
• Den topologiska komplexiteten för sfären $S^{n}$ är 2 för n udda och 3 för n jämn. Till exempel, i fallet med cirkeln S $\displaystyle S^{1}}$ , kan vi definiera en väg mellan två punkter som den geodetiska mellan punkterna, om den är unik. Vilket par av antipodalpunkter som helst kan kopplas ihop med en moturs bana.
• Om $F(\mathbb {R} ^{m},n)$ är konfigurationsutrymmet för n distinkta punkter i det euklidiska m -utrymmet, då

$TC(F(\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,udda } \\2n-2&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,even.} \end{cases}}$

• Den topologiska komplexiteten för Klein-flaskan är 5.

• Farber, M. (2003). "Topologisk komplexitet av rörelseplanering". Diskret & beräkningsgeometri . Vol. 29, nr. 2. s. 211–221.
• Armindo Costa: Topological Complexity of Configuration Spaces , Ph.D. Thesis, Durham University (2010), online