Tijdemans teorem

I talteorin anger Tijdemans sats att det finns högst ett ändligt antal på varandra följande potenser . Uttryckt på ett annat sätt, uppsättningen lösningar i heltal x , y , n , m i den exponentiella diofantina ekvationen

$y^{m}=x^{n}+1,$

för exponenterna n och m större än en, är ändlig.

Historia

Satsen bevisades av den holländska talteoretikern Robert Tijdeman 1976, och använde sig av Bakers metod i transcendental talteorin för att ge en effektiv övre gräns för x , y , m , n . Michel Langevin beräknade ett värde på exp exp exp exp 730 för bunden.

Tijdemans teorem gav en stark drivkraft mot det slutliga beviset på katalanska gissningar av Preda Mihăilescu . Mihăilescus sats säger att det bara finns en medlem i mängden av på varandra följande potenspar, nämligen 9=8+1.

Generaliserat Tijdeman-problem

Att befogenheterna är konsekutiva är väsentligt för Tijdemans bevis; om vi ersätter skillnaden på 1 med någon annan skillnad k och frågar efter antalet lösningar på

$y^{m}=x^{n}+k$

med n och m större än ett har vi ett olöst problem, kallat det generaliserade Tijdeman-problemet. Det antas att denna uppsättning också kommer att vara ändlig. Detta skulle följa av en ännu starkare gissning av Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1931), se katalanska gissningar , som säger att ekvationen $Ay^{m}=Bx^{n}+k$ har bara ett begränsat antal lösningar. Sanningen i Pillais gissningar skulle i sin tur följa av sanningen i abc-förmodan .