Tensor produktmodell transformation

Inom matematiken föreslogs transformationen av tensorprodukten ( TP ) av Baranyi och Yam som nyckelbegrepp för högre ordnings singularvärdesuppdelning av funktioner. Den omvandlar en funktion (som kan ges via slutna formler eller neurala nätverk , fuzzy logic , etc.) till TP-funktionsform om en sådan transformation är möjlig. Om en exakt transformation inte är möjlig, bestämmer metoden en TP-funktion som är en approximation av den givna funktionen. Därför kan TP-modelltransformationen ge en avvägning mellan approximationsnoggrannhet och komplexitet.

En gratis MATLAB- implementering av TP-modelltransformationen kan laddas ner på [1] eller en gammal version av verktygslådan finns tillgänglig på MATLAB Central [2] . En viktig grund för transformationen är sönderdelningen av högre ordningens singularvärde .

Förutom att vara en transformation av funktioner är TP-modelltransformationen också ett nytt koncept inom qLPV-baserad styrning som spelar en central roll för att tillhandahålla ett värdefullt sätt att överbrygga mellan identifiering och polytopiska systemteorier. TP-modelltransformationen är unikt effektiv för att manipulera det konvexa skrovet av polytopiska former, och har som ett resultat avslöjat och bevisat det faktum att konvex skrovmanipulation är ett nödvändigt och avgörande steg för att uppnå optimala lösningar och minska konservativiteten i modern LMI-baserad kontrollteori . Således, även om det är en transformation i matematisk mening, har det etablerat en begreppsmässigt ny riktning inom kontrollteorin och har lagt grunden för ytterligare nya tillvägagångssätt mot optimalitet. Ytterligare detaljer om de kontrollteoretiska aspekterna av TP-modelltransformationen finns här: TP-modelltransformation i kontrollteori .

TP-modellomvandlingen motiverade definitionen av "HOSVD-kanoniska formen av TP-funktioner", om vilken ytterligare information kan hittas här . Det har bevisats att TP-modelltransformationen är kapabel att numeriskt rekonstruera denna HOSVD- baserade kanoniska form. Således kan TP-modelltransformationen ses som en numerisk metod för att beräkna HOSVD för funktioner, vilket ger exakta resultat om den givna funktionen har en TP-funktionsstruktur och approximativa resultat i övrigt.

TP-modelltransformationen har nyligen utökats för att härleda olika typer av konvexa TP-funktioner och för att manipulera dem. Denna funktion har lett till nya optimeringsmetoder inom qLPV-systemanalys och design, som beskrivs i TP-modelltransformation i styrteori .

Definitioner

Finita element TP-funktion

En given funktion $f({\mathbf {x} })$ , där ${\displaystyle \mathbf {x} \in R^{N}} ,$ är en TP-funktion om den har strukturen:

$f(\mathbf {x} )=\summa _{i_{1}=1}^{I_{1}}\summa _{i_{2}= 1}^{I_{2}}\ldots \sum _{i_{N}=1}^{I_{N}}\prod _{n=1}^{N}w_{n,i_{n}} (x_{n})s_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{N}},$

säga med kompakt tensornotation (med användning av tensorproduktoperationen $\otimes$ of ):

$f(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\mathop {\otimes } _{n=1} ^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}),$

där kärntensor ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ ldots \times I_{N}}$ är konstruerad från $s_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$ och radvektor $\mathbf {w} _{n}(x_{n}),(n=1\ldots N)$ innehåller kontinuerliga univariata viktningsfunktioner $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ . Funktionen $w_{n,i_{n}}(x_{n})$ är den ${\displaystyle i_{n}} -:$ e viktningsfunktionen definierad på $n$ -e dimensionen, och $x_{n}$ är $n$ -elementet i vektor $\mathbf {x}$ . Finita element betyder att $I_{n}$ är avgränsad för alla $n$ . För qLPV-modellering och styrtillämpningar kallas en högre struktur av TP-funktioner som TP-modell.

Finita element TP-modell (TP-modell i korthet)

Detta är en högre struktur av TP-funktion:

${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n }).$

Här är ${\mathcal {Y}}={\mathcal {F}}({\mathbf {x} })$ en tensor som ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\in {\mathcal {R}}^{L_{1}\times L_{2}\times \ldots L_{O}}} , alltså storleken på$ kärntensorn är ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}\times L_{1} \times L_{2}\times ...\times L_{O}}$ . Produktoperatören $\boxtimes$ har samma roll som $\otimes$ , men uttrycker det faktum att tensorprodukten appliceras på $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ tensorelement i kärntensor ${\mathcal {S}}$ . Vektor $\mathbf {x}$ är ett element i den slutna hyperkuben $\Omega =[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_ {N},b_{N}]\subset R^{N}$ .

Finita element konvex TP-funktion eller modell

En TP-funktion eller modell är konvex om viktningsfunktionerna innehåller:

$\forall n:\summa _{i_{n}=1}^{I_{n}}w_{n,i_{n}}(x_{n})=1$ och $w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].$

Detta betyder att $f(\mathbf {x} )$ är inuti det konvexa skrovet som definieras av kärntensorn för alla $\mathbf {x} \in \Omega$ .

TP-modelltransformation

Antag en given TP-modell ${\displaystyle {\mathcal {Y}}={\mathcal {F}}(\mathbf {x} )} ,$ där ${\ displaystyle \mathbf {x} \in \Omega \subset R^{N}}$ , vars TP-struktur kanske är okänd (t.ex. ges av neurala nätverk). TP-modelltransformationen bestämmer dess TP-struktur som

${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S} }\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})$ ,

den genererar nämligen kärntensorn ${\mathcal {S}}$ och viktningsfunktionerna $\mathbf {w} _{n}(x_{n})$ för alla $n=1\ldots N$ . Dess kostnadsfria MATLAB- implementering är nedladdningsbar på [3] eller på MATLAB Central [4] .

Om den givna ${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$ inte har TP-struktur (dvs. den är inte i klassen TP-modeller), så bestämmer TP-modelltransformationen dess approximation:

${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )\approx {\mathcal {S}}\boxtimes _{n= 1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}),$

där avvägning erbjuds av TP-modellens transformation mellan komplexitet (antal komponenter i kärntensorn eller antalet viktningsfunktioner) och approximationsnoggrannheten. TP-modellen kan genereras enligt olika begränsningar. Typiska TP-modeller som genereras av TP-modelltransformationen är:

• HOSVD kanonisk form av TP-funktioner eller TP-modell (qLPV-modeller),
• Olika typer av polytopiska former av TP-typ eller konvexa TP-modeller (denna fördel används i qLPV-systemanalys och design).

Egenskaper för TP-modelltransformationen

• Det är en icke-heuristisk och låtbar numerisk metod som först föreslagits inom kontrollteorin.
• Den omvandlar den givna funktionen till finita element TP-struktur. Om denna struktur inte existerar, ger transformationen en approximation under en begränsning av antalet element.
• Den kan exekveras enhetligt (oavsett om modellen ges i form av analytiska ekvationer som härrör från fysiska överväganden, eller som ett resultat av mjuka beräkningsbaserade identifieringstekniker (såsom neurala nätverk eller fuzzy logic-baserade metoder, eller som ett resultat av en black-box-identifiering), utan analytisk interaktion, inom rimlig tid. Transformationen ersätter alltså den analytiska och i många fall komplexa och inte uppenbara omvandlingarna till numeriska, lättförståeliga, okomplicerade operationer.
• Den genererar den HOSVD-baserade kanoniska formen av TP-funktioner, vilket är en unik representation. Det bevisades av Szeidl att TP-modelltransformationen numeriskt rekonstruerar HOSVD av funktioner. Denna form extraherar den unika strukturen för en given TP-funktion i samma mening som HOSVD gör för tensorer och matriser, på ett sätt så att:

• antalet viktningsfunktioner minimeras per dimension (därav storleken på kärntensorn);
• viktningsfunktionerna är en variabel funktion av parametervektorn i ett ortonormerat system för varje parameter (singularfunktioner);
• undertensorerna för kärntensorn är också i ortogonala positioner;
• kärntensorn och viktningsfunktionerna är ordnade enligt de högre ordningens singularvärden för parametervektorn;
• den har en unik form (förutom vissa speciella fall som det finns lika singularvärden);
• introducerar och definierar rangen för TP-funktionen genom dimensionerna av parametervektorn;

• Ovanstående punkt kan utvidgas till TP-modeller (qLPV-modeller för att bestämma den HOSVD- baserade kanoniska formen av qLPV-modellen för att beställa huvudkomponenten i qLPV-modellen). Eftersom kärntensorn är $N+O$ dimensionell, men viktningsfunktionerna bestäms endast för dimensionerna $n=1\ldots N$ , dvs kärntensorn är konstruerad från $O$ dimensionella element, därför är den resulterande TP-formen inte unik.
• Kärnsteget i TP-modelltransformationen utökades till att generera olika typer av konvexa TP-funktioner eller TP-modeller (TP-typ polytopa qLPV-modeller), för att fokusera på den systematiska (numeriska och automatiska) modifieringen av det konvexa skrovet istället för att utveckla nya LMI-ekvationer för genomförbar styrenhetsdesign (detta är den allmänt använda metoden). Det är värt att notera att både TP-modelltransformationen och de LMI-baserade kontrolldesignmetoderna är numeriskt exekverbara efter varandra, och detta gör lösningen av en bred klass av problem möjlig på ett enkelt och lättöverskådligt, numeriskt sätt.
• TP-modelltransformationen kan utföra en avvägning mellan komplexitet och noggrannhet hos TP-funktioner genom att förkasta de högre ordningens singularvärden, på samma sätt som tensor-HOSVD används för komplexitetsreduktion.

Baranyi, P. (2018). Utvidgning av Multi-TP-modellomvandlingen till funktioner med olika antal variabler. Komplexitet, 2018.

externa länkar

• TP Tool – hemsida