Tennisbollsats
.jpg)
Inom geometri säger tennisbollsatsen att varje jämn kurva på ytan av en sfär som delar sfären i två delmängder med lika yta utan att röra eller korsa sig själv måste ha minst fyra inflexionspunkter , punkter där kurvan inte konsekvent böjer sig till endast en sida av dess tangentlinje . Tennisbollsatsen publicerades först under detta namn av Vladimir Arnold 1994, och tillskrivs ofta Arnold, men ett närbesläktat resultat förekommer tidigare i en artikel från 1968 av Beniamino Segre , och själva tennisbollsatsen är ett specialfall av en teorem i en artikel från 1977 av Joel L. Weiner. Namnet på satsen kommer från standardformen på en tennisboll , vars söm bildar en kurva som uppfyller villkoren för satsen; samma typ av kurva används också för sömmarna på basebollar .
Tennisbollsatsen kan generaliseras till vilken kurva som helst som inte finns i en sluten halvklot. En centralt symmetrisk kurva på sfären måste ha minst sex böjningspunkter. Satsen är analog med satsen med fyra vertex, enligt vilken varje slät, sluten plankurva har minst fyra punkter med extrem krökning.
Påstående
Exakt, en böjningspunkt för en dubbelt kontinuerligt differentierbar ( ) kurva på ytan av en sfär är en punkt med följande egenskap: let vara den anslutna komponenten som innehåller för skärningspunkten för kurvan med dess tangentstorcirkel vid . (För de flesta kurvor bara att vara själv, men det kan också vara en båge av storcirkeln.) Sedan, för att ska vara en böjningspunkt, varje grannskapet av måste innehålla punkter i kurvan som hör till båda halvkloten åtskilda av denna stora cirkel. Satsen säger att varje -kurva som delar upp sfären i två lika-area komponenter har minst fyra inflexionspunkter i denna mening.
Exempel
Tennisbolls- och baseballsömmarna kan modelleras matematiskt av en kurva gjord av fyra halvcirkelformade bågar, med exakt fyra inflexionspunkter där par av dessa bågar möts. En storcirkel halverar också sfärens yta och har oändligt många böjningspunkter, en vid varje punkt på kurvan. Villkoret att kurvan delar sfärens yta lika är dock en nödvändig del av satsen. Andra kurvor som inte delar området lika, som cirklar som inte är storcirklar, kanske inte har några böjningspunkter alls.
Bevis genom kurvförkortning
Ett bevis på tennisbollsatsen använder det kurvförkortande flödet , en process för att kontinuerligt flytta kurvans punkter mot deras lokala krökningscentrum . Att applicera detta flöde på den givna kurvan kan visas för att bevara kurvans jämnhet och area-bidelande egenskap. Dessutom, när kurvan flyter, ökar dess antal böjningspunkter aldrig. Detta flöde får så småningom kurvan att förvandlas till en storcirkel , och konvergensen till denna cirkel kan approximeras av en Fourier-serie . Eftersom kurvförkortning inte förändrar någon annan storcirkel, är den första termen i denna serie noll, och om man kombinerar detta med Sturms sats om antalet nollor i Fourierserien visar det att när kurvan närmar sig denna storcirkel har den minst fyra böjningspunkter. Därför har den ursprungliga kurvan också minst fyra inflexionspunkter.
Relaterade satser
En generalisering av tennisbollsatsen gäller för vilken enkel slät kurva som helst på sfären som inte finns i en sluten halvklot. Liksom i den ursprungliga tennisbollsatsen måste sådana kurvor ha minst fyra inflexionspunkter. Om en kurva på sfären är centralt symmetrisk måste den ha minst sex böjningspunkter.
En närbesläktad sats av Segre (1968) gäller också enkla slutna sfäriska kurvor, på sfärer inbäddade i tredimensionellt rum. Om, för en sådan kurva, är någon punkt på det tredimensionella konvexa skrovet av en jämn kurva på sfären som inte är en vertex på kurvan, så har åtminstone fyra punkter på kurvan oskulerande plan passerar genom . I synnerhet för en kurva som inte finns i en halvklot, kan denna sats tillämpas med i mitten av sfären. Varje böjningspunkt i en sfärisk kurva har ett oskulerande plan som passerar genom sfärens centrum, men detta kan också vara sant för vissa andra punkter.
Detta teorem är analogt med fyra-vertex-satsen , att varje slät enkel sluten kurva i planet har fyra hörn (extrema krökningspunkter). Det är också analogt med ett teorem av August Ferdinand Möbius att varje icke sammandragbar slät kurva i det projektiva planet har minst tre inflexionspunkter.