T-norm luddig logik

T-norm fuzzy logics är en familj av icke-klassiska logiker , informellt avgränsade genom att ha en semantik som tar det verkliga enhetsintervallet [0, 1] för systemet av sanningsvärden och funktioner som kallas t-normer för tillåtna tolkningar av konjunktion . De används främst inom tillämpad fuzzy logic och fuzzy set theory som en teoretisk grund för ungefärliga resonemang.

T-norm fuzzy logics hör hemma i bredare klasser av fuzzy logics och många värderade logiker . För att generera en väluppfostrad implikation krävs vanligtvis att t-normerna är vänsterkontinuerliga ; logik av vänsterkontinuerliga t-normer hör vidare till klassen av substrukturella logiker , bland vilka de är markerade med giltigheten av prelinearitetslagen , ( A → B ) ∨ ( B → A ). Både propositionella och första ordningens (eller högre ordningens ) t-norm fuzzy logik, såväl som deras expansioner av modala och andra operatorer, studeras. Logiker som begränsar t-normens semantik till en delmängd av det reella enhetsintervallet (till exempel ändligt värderade Łukasiewicz-logiker ) ingår vanligtvis också i klassen.

Viktiga exempel på t-norm fuzzy logik är monoidal t-norm logik MTL för alla vänsterkontinuerliga t-normer, grundläggande logik BL för alla kontinuerliga t-normer, produkt fuzzy logik för produkten t-norm, eller den nilpotenta minimilogiken för den nilpotenta lägsta t-normen. Vissa oberoende motiverade logiker hör också till t-normens luddiga logik, till exempel Łukasiewicz-logiken (som är logiken i Łukasiewicz-t-normen) eller Gödel–Dummett-logiken (som är logiken för den minsta t-normen).

Motivering

Som medlemmar i familjen av fuzzy logics , syftar t-norm fuzzy logics främst till att generalisera klassisk tvåvärdig logik genom att tillåta mellanliggande sanningsvärden mellan 1 (sanning) och 0 (falsitet) som representerar grader av sanning av propositioner. Graderna antas vara reella tal från enhetsintervallet [0, 1]. I propositionella t-norm fuzzy logics, propositionella konnektiver stipulerade att vara sanningsfunktionella , det vill säga sanningsvärdet av en komplex proposition som bildas av en propositional connective från vissa konstituerande propositioner är en funktion (kallad sanningsfunktionen av connectivet) av sanningsvärdena i de ingående påståendena. Sanningsfunktionerna verkar på uppsättningen sanningsgrader (i standardsemantiken, på [0, 1]-intervallet); sålunda är sanningsfunktionen för ett n -ärt satskonnektivt c en funktion F _c : [0, 1] ⁿ → [0, 1]. Sanningsfunktioner generaliserar sanningstabeller över propositionella kopplingar som är kända från klassisk logik för att fungera på det större systemet av sanningsvärden.

T-normens fuzzy logics lägger vissa naturliga begränsningar på sanningsfunktionen hos konjunktion . Sanningsfunktionen $*\colon [0,1]^{2}\to [0,1]$ för konjunktion antas uppfylla följande villkor:

• Kommutativitet , det vill säga $x*y=y*x$ för alla x och y i [0, 1]. Detta uttrycker antagandet att ordningen för fuzzy propositioner är oväsentlig i konjunktion, även om mellanliggande sanningsgrader tillåts.
• Associativitet , det vill säga $(x*y)*z=x*(y*z)$ för alla x , y och z i [0 , 1]. Detta uttrycker antagandet att ordningen för att utföra konjunktion är oväsentlig, även om mellanliggande sanningsgrader tillåts.
• Monotoni , det vill säga om $x\leq y$ så $x*z\leq y*z$ för alla x , y och z i [0, 1 ]. Detta uttrycker antagandet att en ökning av sanningsgraden för en konjunkt inte bör minska sanningsgraden för konjunktionen.
• Neutraliteten på 1 , det vill säga $1*x=x$ för alla x i [0, 1]. Detta antagande motsvarar att betrakta sanningsgrad 1 som full sanning, i förening med vilken inte den andra konjunktens sanningsvärde minskar. Tillsammans med de tidigare villkoren säkerställer detta villkor att även $0*x=0$ för alla x i [0, 1], vilket motsvarar att betrakta sanningsgraden 0 som full falskhet, i förening med vilken alltid är helt falsk.
• Kontinuitet för funktionen $*$ (de tidigare villkoren reducerar detta krav till kontinuiteten i båda argumenten). Informellt uttrycker detta antagandet att mikroskopiska förändringar av sanningsgraden för konjunkter inte bör resultera i en makroskopisk förändring av sanningsgraden för deras konjunktion. Detta tillstånd säkerställer bland annat ett bra beteende av (resterande) implikation härledd från konjunktion; för att säkerställa det goda beteendet räcker dock vänster -kontinuitet (i båda argumenten) för funktionen ${\displaystyle *} . I allmän t-norm fuzzy logik$ krävs därför endast vänsterkontinuitet av ${\displaystyle *} , vilket uttrycker antagandet att en mikroskopisk$ minskning av sanningsgraden för en konjunkt inte makroskopiskt ska minska sanningsgraden av konjunktion.

Dessa antaganden gör konjunktionens sanningsfunktion till en vänsterkontinuerlig t-norm , vilket förklarar namnet på familjen av fuzzy logik ( t-normbaserad) . Särskilda logiker i familjen kan göra ytterligare antaganden om beteendet hos konjunktion (till exempel Gödel-logik kräver sin idempotens ) eller andra kopplingar (till exempel logiken IMTL (involutiva monoidal t-norm-logik) kräver negationens involutivitet ).

Alla vänsterkontinuerliga t-normer $*$ har ett unikt residuum , det vill säga en binär funktion $\Rightarrow$ så att för alla x , y , och z i [0, 1],

$x*y\leq z$ om och endast om $x\leq y\Rightarrow z.$

Resten av en vänsterkontinuerlig t-norm kan uttryckligen definieras som

$(x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.$

Detta säkerställer att resten är den punktvis största funktionen så att för alla x och y ,

$x*(x\högerpil y)\leq y.$

Det senare kan tolkas som en luddig version av modus ponens regel om slutledning. Resterna av en vänsterkontinuerlig t-norm kan således karakteriseras som den svagaste funktionen som gör den fuzzy modus ponens giltig, vilket gör den till en lämplig sanningsfunktion för implikation i fuzzy logik. Vänsterkontinuitet för t-normen är den nödvändiga och tillräckliga förutsättningen för att detta förhållande mellan en t-normkonjunktion och dess återstående implikation ska hålla.

Sanningsfunktioner för ytterligare propositionella konnektiver kan definieras med hjälp av t-normen och dess residuum, till exempel residualnegationen $\neg x=(x\Rightarrow 0)$ eller bi-residual ekvivalens $x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).$ Sanningsfunktioner för propositionella konnektiver kan också introduceras genom ytterligare definitioner: de vanligaste är minimum (vilket spelar en roll som en annan) konjunktiv konjunktiv), maximum (som spelar en roll som en disjunktiv konnektiv), eller Baaz Delta-operatorn, definierad i [0, 1] som $\Delta x=1$ om ${\ displaystyle x=1}$ och $\Delta x=0$ annars. På detta sätt bestämmer en vänsterkontinuerlig t-norm, dess residuum och sanningsfunktionerna för ytterligare propositionella bindemedel sanningsvärdena för komplexa propositionsformler i [0, 1].

Formler som alltid utvärderas till 1 kallas tautologier med avseende på den givna vänsterkontinuerliga t-normen $*,$ eller $*{\mbox{-}}$ tautologier. Mängden av alla $*{\mbox{-}}$ tautologier kallas t-normens logik $*,$ eftersom dessa formler representerar lagarna för fuzzy logik (bestämda av t -norm) som håller (till grad 1) oavsett sanningsgraderna för atomformler . Vissa formler är tautologier med avseende på en större klass av vänsterkontinuerliga t-normer; uppsättningen av sådana formler kallas klassens logik. Viktiga t-normlogiker är logiken för särskilda t-normer eller klasser av t-normer, till exempel:

• Łukasiewicz logik är logiken för $x*y=\max(x+y-1,0)$ t-norm
• Gödel–Dummett-logiken är logiken för den minsta t-normen $x*y=\min(x,y)$
• Produktens luddiga logik är logiken för produktens t-norm $x*y=x\cdot y$
• Monoidal t-norm logik MTL är logiken för (klassen av) alla vänsterkontinuerliga t-normer
• Grundläggande fuzzy logic BL är logiken för (klassen av) alla kontinuerliga t-normer

Det visar sig att många logiker för särskilda t-normer och klasser av t-normer är axiomatiserbara. Det axiomatiska systemets fullständighetssats med avseende på motsvarande t-normsemantik på [0, 1] kallas då logikens standardfullständighet . Förutom den vanliga verkliga semantiken på [0, 1], är logikerna sunda och kompletta med avseende på allmän algebraisk semantik, bildad av lämpliga klasser av prelinjära kommutativa avgränsade integralrestgitter .

Historia

Vissa speciella t-norm fuzzy logiker har introducerats och undersökts långt innan familjen erkändes (även innan föreställningarna om fuzzy logic eller t-norm dök upp):

• Łukasiewicz logik (logiken i Łukasiewicz t-norm) definierades ursprungligen av Jan Łukasiewicz (1920) som en trevärdig logik ; det generaliserades senare till n -värderade (för alla finita n ) såväl som oändligt många värderade varianter, både propositionella och första ordningens.
• Gödel–Dummett-logiken (logiken för den minimala t-normen) var implicit i Gödels bevis från 1932 på intuitionistisk logiks oändliga värde . Senare (1959) studerades det explicit av Dummett som bevisade en fullständighetsteorem för logiken.

En systematisk studie av speciell t-norm fuzzy logics och deras klasser började med Hájeks (1998) monografi Metamathematics of Fuzzy Logic, som presenterade begreppet logik för en kontinuerlig t-norm, logikerna för de tre grundläggande kontinuerliga t-normerna. normer (Łukasiewicz, Gödel och produkt), och den "grundläggande" fuzzy logiken BL för alla kontinuerliga t-normer (alla av dem både propositionella och första ordningens). Boken startade också undersökningen av suddig logik som icke-klassisk logik med Hilbert-liknande kalkyler, algebraisk semantik och metamatematiska egenskaper kända från andra logiker (fullständighetsteorem, deduktionssatser, komplexitet , etc. ) .

Sedan dess har en uppsjö av t-norm fuzzy logiker introducerats och deras metamatematiska egenskaper har undersökts. Några av de viktigaste t-normens fuzzy logikerna introducerades 2001 av Esteva och Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), Esteva, Godo och Montagna (propositionell ŁΠ) och Cintula (första ordningens ŁΠ) .

Logiskt språk

Den logiska vokabulären för propositionella t-norm fuzzy logics omfattar standardmässigt följande kopplingar:

• Implikation $\rightarrow$ ( binär ). I sammanhanget av andra än t-norm-baserade fuzzy logiker kallas den t-norm-baserade implikationen ibland residual implikation eller R-implication , eftersom dess standardsemantik är resten av t-normen som realiserar stark konjunktion.
• Stark konjunktion $\And$ (binär). I samband med substrukturell logik används ofta tecknet $\otimes$ och namnen grupp , intensional , multiplikativ , eller parallell konjunktion för stark konjunktion.
• Svag konjunktion $\displaystyle \wedge }$ { (binär), även kallad gitterkonjunktion (som det alltid realiseras av gitteroperationen meet i algebraisk semantik). I sammanhanget av substrukturell logik används ibland namnen additiv , extensional , eller jämförande konjunktion för gitterkonjunktion. I logiken BL och dess förlängningar (dock inte i t-norm logik i allmänhet) är svag konjunktion definierbar i termer av implikation och stark konjunktion, genom
  $$A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\högerpil B).$$
  Närvaron av två konjunktionsförbindningar är ett vanligt kännetecken för sammandragningsfri substrukturell logik .
• Botten $\bot$ ( nullär ); $0$ eller ${\overline {0}}$ är vanliga alternativa tecken och noll är ett vanligt alternativt namn för propositionskonstanten (eftersom konstanterna botten och noll för substrukturell logik sammanfaller i t-norm fuzzy logics) . Propositionen $\bot$ representerar falskheten eller absurdum och motsvarar det klassiska sanningsvärdet false .
• Negation $\neg$ ( unary ), ibland kallad residual negation om andra negation connectives tas i beaktande, eftersom det definieras från den resterande implikationen av reductio ad absurdum:
  $$\neg A\equiv A\rightarrow \bot$$
• Ekvivalens $\leftrightarrow$ (binär), definierad som
  $$A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)$$
  I t-norm logik är definitionen ekvivalent med $(A\högerpil B){\mathbin {\And }}(B\högerpil A).$
• (Svag) disjunktion $\vee$ (binär), även kallad gitterdisjunktion (som det alltid realiseras av gitteroperationen av join i algebraisk semantik). I t-norm logik är det definierbart i termer av andra kopplingar som
  $$A\vee B\equiv ((A\högerpil B)\högerpil B)\wedge ((B\högerpil A)\högerpil A)$$
• Top $\top$ (nullär), även kallad en och betecknad med $1$ eller ${\overline {1}}$ (eftersom konstanterna topp och noll för substrukturella logik sammanfaller i t-norm fuzzy logics). Propositionen $\top$ motsvarar det klassiska sanningsvärdet true och kan i t-norm logik definieras som
  $$\top \equiv \bot \rightarrow \bot .$$

Vissa propositionella t-normlogiker lägger till ytterligare propositionella kopplingar till ovanstående språk, oftast följande:

• Deltakonnektivet ${\displaystyle \triangle } är ett unärt bindemedel som hävdar den klassiska sanningen i en proposition$ , eftersom formlerna för formen △ $\displaystyle \triangle A}$ beter sig som i klassisk logik. Kallas även Baazdeltat , eftersom det först användes av Matthias Baaz för Gödel–Dummett-logik . Expansionen av en t-norm logik $L$ av Delta-anslutningen betecknas vanligtvis med $L_{\triangle }.$
• Sanningskonstanter är nullära kopplingar som representerar särskilda sanningsvärden mellan 0 och 1 i den vanliga verkliga semantiken. För det reella talet $r$ betecknas den motsvarande sanningskonstanten vanligtvis med ${\overline {r}}.$ Oftast adderas sanningskonstanterna för alla rationella tal. Systemet med alla sanningskonstanter i språket är tänkt att uppfylla bokföringsaxiomen :
  $${\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }} {\overline {s}}),$$
  $${\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s} }),$$
  etc. för alla propositionella bindemedel och alla sanningskonstanter som är definierbara i språket.
• Involutiv negation $\sim$ (unär) kan läggas till som en ytterligare negation till t-normlogik vars restnegation inte i sig själv är involutiv , det vill säga om den inte följer lagen om dubbelnegation $\neg \neg A\leftrightarrow A$ . En t-norm logik $L$ expanderad med involutiv negation betecknas vanligtvis med $L_{\sim }$ och kallas $L$ med involution .
• Stark disjunktion $\oplus$ (binär). I samband med substrukturell logik kallas det också för grupp , intensionell , multiplikativ eller parallell disjunktion . Även om standard i kontraktionsfri substrukturell logik, används den i t-norm fuzzy logics vanligtvis endast i närvaro av involutiv negation, vilket gör den definierbar (och så axiomatiserbar) av de Morgans lag från stark konjunktion:
  $$A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).$$
• Ytterligare t-normkonjunktioner och restimplikationer . Vissa uttrycksmässigt starka t-normlogiker, till exempel logiken ŁΠ, har mer än en stark konjunktion eller kvarstående implikation i sitt språk. I den vanliga verkliga semantiken realiseras alla sådana starka konjunktioner av olika t-normer och de resterande implikationerna av deras residua.

Välformade formler för propositionella t-normlogiker definieras från propositionella variabler (vanligtvis uträkneligt många) av ovanstående logiska bindemedel, som vanligt i propositionella logiker . För att spara parenteser är det vanligt att använda följande prioritetsordning:

• Unära bindemedel (binder närmast)
• Andra binära bindemedel än implikation och ekvivalens
• Implikation och ekvivalens (binder mest löst)

Första ordningens varianter av t-norm logik använder det vanliga logiska språket för första ordningens logik med ovanstående propositionella kopplingar och följande kvantifierare :

• Allmän kvantifierare $\forall$
• Existentiell kvantifierare $\exists$

Den första ordningens varianten av en propositionell t-norm logik $L$ betecknas vanligtvis med $L\forall .$

Semantik

Algebraisk semantik används huvudsakligen för propositionell t-norm fuzzy logik, med tre huvudklasser av algebror med avseende på vilka en t-norm fuzzy logik $L$ är komplett :

• Allmän semantik , bildad av alla $L$ -algebror — det vill säga alla algebror för vilka logiken är sund .
• Linjär semantik , bildad av alla linjära $L$ -algebror — det vill säga alla $L$ -algebror vars gitterordning är linjär .
• Standardsemantik , bildad av alla standard $L$ -algebror — det vill säga alla $L$ -algebror vars gitterreduktion är det reella enhetsintervallet [0, 1] med den vanliga ordningen. I standard $L$ -algebras är tolkningen av stark konjunktion en vänsterkontinuerlig t-norm och tolkningen av de flesta propositionella konnektiven bestäms av t-normen (därav namnen t-normbaserad logik och t -norm $L$ -algebras , som också används för $L$ -algebras på gittret [0, 1]). I t-normlogik med ytterligare kopplingar kan emellertid den verkliga tolkningen av de ytterligare kopplingarna begränsas av ytterligare villkor för att t-normalgebra ska kallas standard: till exempel i standard L ∼ {\displaystyle L $\ sim }}$ -algebror för logiken $L$ med involution, tolkningen av den extra involutiva negationen $\sim$ måste vara standardinvolutionen ${\ displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,}$ snarare än andra involutioner som också kan tolka $\sim$ över t-norm $L_{\sim }$ -algebror. I allmänhet måste därför definitionen av standard t-normalgebror uttryckligen ges för t-normlogik med ytterligare kopplingar.

Bibliografi

• Esteva F. & Godo L., 2001, "Monoidal t-norm based logic: Towards a logic of left-continuous t-norms". Fuzzy Sets and Systems 124 : 271–288.
• Flaminio T. & Marchioni E., 2006, T-normbaserad logik med en oberoende involutiv negation. Fuzzy Sets and Systems 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. & Hájek P., 2005, Triangulär normbaserad matematisk fuzzy logic. I EP Klement & R. Mesiar (red.), Logical, Algebraic, Analytic and Probabilistic Aspects of Triangular Norms , s. 275–300. Elsevier, Amsterdam 2005.
•   Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6 .