System per enhet

Inom elektroteknikområdet kraftsystemanalys är ett per-enhetssystem uttrycket av systemkvantiteter som bråkdelar av en definierad basenhetskvantitet . Beräkningar förenklas eftersom kvantiteter uttryckta som per enhet inte ändras när de hänvisas från ena sidan av en transformator till den andra. Detta kan vara en uttalad fördel vid analys av kraftsystem där ett stort antal transformatorer kan påträffas. Dessutom kommer liknande typer av apparater att ha impedanserna inom ett smalt numeriskt område när de uttrycks som en bråkdel per enhet av utrustningens klassificering, även om enhetsstorleken varierar kraftigt. Omvandling av kvantiteter per enhet till volt, ohm eller ampere kräver kunskap om basen som kvantiteterna per enhet refererades till. Systemet per enhet används i effektflöde , kortslutningsutvärdering , motorstartstudier etc.

Huvudtanken med ett per enhetssystem är att absorbera stora skillnader i absoluta värden i basförhållanden. Således blir representationer av element i systemet med per enhetsvärden mer enhetliga.

Ett system per enhet tillhandahåller enheter för effekt , spänning , ström , impedans och admittans . Med undantag för impedans och admittans är två valfria enheter oberoende och kan väljas som basvärden; effekt och spänning väljs vanligtvis. Alla kvantiteter anges som multiplar av valda basvärden. Till exempel kan baseffekten vara märkeffekten för en transformator , eller kanske en godtyckligt vald effekt som gör effektkvantiteterna i systemet mer bekväma. Basspänningen kan vara den nominella spänningen för en buss . Olika typer av kvantiteter är märkta med samma symbol ( pu ); det bör framgå om storheten är en spänning, ström eller annan måttenhet.

Syfte

Det finns flera anledningar till att använda ett system per enhet:

• Liknande apparater (generatorer, transformatorer, ledningar) kommer att ha liknande impedanser och förluster per enhet, uttryckta på deras egen klassificering, oavsett deras absoluta storlek. På grund av detta kan data per enhet snabbt kontrolleras för grova fel. Ett värde per enhet utanför normalt intervall är värt att titta på för potentiella fel.
• Tillverkare anger vanligtvis impedansen för apparaten i värden per enhet.
• Användningen av konstanten $\textstyle {\sqrt {3}}$ reduceras i trefasberäkningar.
• Kvantiteterna per enhet är desamma på båda sidor om en transformator, oberoende av spänningsnivån
• Genom att normalisera kvantiteter till en gemensam bas förenklas både manuella och automatiska beräkningar.
• Det förbättrar den numeriska stabiliteten för automatiska beräkningsmetoder.
• Datarepresentation per enhet ger viktig information om relativa magnituder.

Systemet per enhet har utvecklats för att göra manuell analys av kraftsystem enklare. Även om analys av kraftsystem nu görs med dator, uttrycks resultaten ofta som värden per enhet på en bekväm bas för hela systemet.

Baskvantiteter

Generellt väljs basvärden för effekt och spänning. Baseffekten kan vara klassificeringen av en enda apparat, såsom en motor eller generator. Om ett system studeras, väljs baseffekten vanligtvis som ett bekvämt runt tal såsom 10 MVA eller 100 MVA. Basspänningen väljs som systemets nominella märkspänning. Alla andra baskvantiteter härleds från dessa två baskvantiteter. När väl baseffekten och basspänningen har valts, bestäms basströmmen och basimpedansen av de naturliga lagarna för elektriska kretsar. Basvärdet bör endast vara en magnitud, medan värdet per enhet är en fasor. Fasvinklarna för komplex effekt, spänning, ström, impedans etc. påverkas inte av omvandlingen till värden per enhet.

Syftet med att använda ett per-enhetssystem är att förenkla konvertering mellan olika transformatorer. Därför är det lämpligt att illustrera stegen för att hitta värden per enhet för spänning och impedans. Låt först baseffekten ( S- _bas ) för varje ände av en transformator bli densamma. När varje S är inställd på samma bas kan basspänningen och basimpedansen för varje transformator enkelt erhållas. Sedan kan det reella antalet impedanser och spänningar ersättas med beräkningsdefinitionen per enhet för att få svaren för systemet per enhet. Om värdena per enhet är kända kan de verkliga värdena erhållas genom att multiplicera med basvärdena.

Enligt konvention antas följande två regler för baskvantiteter:

• Baseffektvärdet är detsamma för hela det berörda elsystemet.
• Förhållandet mellan spänningsbaserna på vardera sidan av en transformator väljs för att vara detsamma som förhållandet mellan transformatorns spänningsvärden.

Med dessa två regler förblir en impedans per enhet oförändrad när den hänvisas från ena sidan av en transformator till den andra. Detta gör att den idealiska transformatorn kan elimineras från en transformatormodell.

Förhållande mellan enheter

Förhållandet mellan enheter i ett per-enhetssystem beror på om systemet är enfas eller trefas .

En fas

Om vi ​​antar att de oberoende basvärdena är effekt och spänning, har vi:

$P_{\text{bas}}=1{\text{ pu}}$

$V_{\text{base}}=1{\text{ pu} }$

Alternativt kan basvärdet för effekt ges i termer av reaktiv eller skenbar effekt , i vilket fall vi har resp.

$Q_{\text{bas}}=1{\text{ pu}}$

eller

$S_{\text{bas}}=1{\text{ pu}}$

Resten av enheterna kan härledas från effekt och spänning med hjälp av ekvationerna $S=IV$ , $P=S\cos(\phi )$ , $Q=S\sin(\phi )$ och ${\underline {V}}={\underline {I}}{\underline { Z}}$ ( Ohms lag ), $Z$ representeras av ${\underline {Z}} =R+jX=Z\cos(\phi )+jZ\sin(\phi )$ . Vi har:

$I_{\text{bas}}={\frac {S_{\text{bas}}}{V_{\text{bas}}}}=1{\ text{ pu}}$

${\displaystyle Z_{\text{bas}}={\frac {V_{\text {bas}}}{I_{\text{bas}}}}={\frac {V_{\text{bas}}^{2}}{I_{\text{bas}}V_{\text{bas} }}}={\frac {V_{\text{bas}}^{2}}{S_{\text{bas}}}}=1{\text{ pu}}} Y-$

$Y_{\text{bas}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}$

Tre fas

Effekt och spänning anges på samma sätt som enfassystem. Men på grund av skillnader i vad dessa termer vanligtvis representerar i trefassystem, är relationerna för de härledda enheterna olika. Specifikt ges effekt som total (inte per fas) effekt, och spänning är linje-till-linje spänning. I trefassystem är ekvationerna $P=S\cos(\phi )$ och $Q=S\sin(\phi )$ också hålla. Den skenbara effekten $S$ är nu lika med $S_{\text{base}}={\sqrt {3}}V_{\text{base}}I_{\text {bas}}$

$I_{\text{bas}}={\frac {S_{\text{bas}}}{V_{\text{bas}}\ gånger {\ sqrt {3}}}}=1{\text{ pu}}$

$Z_{\text{bas}}={\frac {V_{\text{bas}}}{I_{\text{bas}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{bas}}^{2}}{S_ {\text{bas}}}}=1{\text{ pu}}$

$Y_{\text{bas}}={\frac {1}{Z_{\ text{bas}}}}=1{\text{ pu}}$

Exempel på per enhet

Som ett exempel på hur per enhet används, betrakta ett trefas kraftöverföringssystem som hanterar effekter i storleksordningen 500 MW och använder en nominell spänning på 138 kV för överföring. Vi väljer godtyckligt ${\displaystyle S_{\mathrm {base} }=500\,\mathrm {MVA} } ,$ och använder den nominella spänningen 138 kV som basspänning $V_{\mathrm {base} }$ . Vi har då:

$I_{\text{bas}}={\frac {S_{\text{bas}}}{V_{\text{bas}}\times { \sqrt {3}}}}=2,09\,\mathrm {kA}$

$Z_{\text{bas}}={\ frac {V_{\text{bas}}}{I_{\text{bas}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{bas}}^{2}}{ S_{\text{bas}}}}=38.1\,\Omega$

$Y_{\mathrm {base} }={\frac {1 }{Z_{\mathrm {bas} }}}=26.3\,\mathrm {mS}$

Om till exempel den faktiska spänningen vid en av bussarna mäts till 136 kV har vi:

$V_{\mathrm {pu} }={\frac {V}{V_{\mathrm {bas} }}} ={\frac {136\,\mathrm {kV} }{138\,\mathrm {kV} }}=0,9855\,\mathrm {pu}$

Systemformler per enhet

Följande tabell över systemformler per enhet är anpassade från Beeman's Industrial Power Systems Handbook .

av ekvation
Basnummer Väljer
	godtyckligt från ohms lag de två bastalen: basspänning och basström
1	${\text{Vi har, Z}}={\frac {E}{I}}$
2	${\text{Bas ohm}}={\frac {\text{basvolt}}{\text{basampere}}}$
3	${\text{Per-enhet volt}}={\frac {\text{volt}}{\text{basvolt}}}$
4	${\text{Per-unit amperes}}={\frac {\text{ampere}}{\text{base amperes}}}$
5	${\text{Per-enhet ohm}}={\frac {\text{ohm}}{\text{bas ohm}}}$
	Alternativt, genom att välja basvolt och bas kva-värden, har vi
	i enfassystem:
6	${\text{Basampere }}={\frac {{\text{bas kva}}\cdot 1000}{\text{basvolt}}}$
7	${\text{Basampere }}={\frac {\text{bas kva}}{{\text{bas kv}}_{LL}}}$
8	${\text{Bas ohm }}={\frac {\text{basvolt}}{\text{basampere}}}$
	och i trefassystem:
9	${\text{Basampere }}={\frac {{\text{bas kva}}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot { \text{basvolt}}}}$
10	${\text{Basampere }}={\frac {\text{bas kva}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{bas kv}}_{LL}}}$
11	${\text{Bas ohm }}={\frac {\text{basvolt}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base ampere}} }}$
	Utarbeta för bekvämlighets skull per enhet ohm direkt, vi har
	för enfasiga och trefasiga system:
12	${\text{Bas ohm }}={\frac {{\text{ohm}}\cdot {\text{bas kva}}}{ kv_{LL}^{2}\cdot 1000}}$
Formler för kortslutningsberäkning
	ohm-omvandlingar:
13	${\text{Per-enhet ohm reaktans}}={\frac {{\text{ohm reaktans}}\cdot {\ text{kva bas}}}{kv_{LL}^{2}\cdot 1000}}$
14	${\text{Ohms reaktans}}={\frac {\%{\text{ reaktans}}\cdot kv_{LL}^{2 }\cdot 1000}{\text{kva bas}}}$
15	${\text{Per-enhet ohm reaktans}}={\frac {\text{procent ohm reaktans}}{100}}$
	Ändra ohm från en kva-bas till en annan:
16	$\%{\text{ ohm reaktans på kva bas}}_{2}={\frac {{\text{ kva bas}}_{2}}{{\text{kva bas}}_{1}}}\cdot \%{\text{ ohm-reaktans på bas}}_{1}$
17	${\text{0/1 ohm reaktans på kva bas}}_{2}={\frac { {\text{kva bas}}_{2}}{{\text{kva bas}}_{1}}}\cdot 0/1{\text{ ohm reaktans på bas}}_{1}$
	Ändra inkommande systemreaktans:
	a. Om systemreaktansen anges i procent, använd Ekv. 16 för att byta från en kva-bas till en annan.
	b. Om systemreaktans ges i kortslutningssymmetrisk rms kva eller ström, omvandla till per enhet enligt följande:
18	${\text{0/1 reaktans}}={\frac {\text{kva bas använd i reaktans i studerad beräkning}}{ \text{systemkortslutning kva}}}$
19	${\text{0/1 reaktans}}={\frac {\text{kva bas används i reaktans i studerad beräkning}}{{\text{systemkortslutningsström}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{system kv}}_{LL}}}$
	Beräkna ungefärlig motor kva bas:
	a. För induktionsmotorer och synkronmotorer med 0,8 effektfaktor
20	${\text{kva bas}}\approx {\text{ hästkrafter}}$
	b. För synkronmotorer med enhetseffektfaktor
21	${\text{kva bas}}0,8\cdot \approx {\text{hästkraftsbetyg}}$
	Konvertera ohm från en spänning till en annan:
22	${\text{Ohm på basis av spänning}}_{1}=\left({\frac {{\text {spänning}}_{1}}{{\text{spänning}}_{2}}}\right)^{2}\cdot {\text{ohm på basis av spänning}}_{2}$
	Kortslutning kva och strömberäkningar
	Symmetrisk kortslutning kva:
23	$=100\cdot {\frac {\text{kva bas}}{\%{\text{ X}}}}$
24	$={\frac {\text{kva bas}}{\text{0/1 X}}}$
25	$=3\cdot {\frac {{\text{Voltage}}_{LN}^{2}}{{\text{ohms reaktans}}\cdot 1000}}$
26	$={\frac {{\text{kv}}_{LL}^{2}\cdot 1000}{\text{ohm reaktans}}}$
	Symmetrisk kortslutningsström:
27	$=100\cdot {\frac {\text{kva bas}}{\%{\text{ X}}\cdot {\sqrt {3} }\cdot {\text{kv}}_{LL}}}$
28	$={\frac {\text{kva bas}}{{\text{0/1 X}}\cdot {\sqrt {3}}\ cdot {\text{kv}}_{LL}}}$
29	$={\frac {{\text{kv}}_{LL}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{ohm reaktans }}}}$
	Asymmetrisk kortslutningsström och kva:
30	${\text{Asymmetrisk kortslutningsström = symmetrisk ström}}\cdot {\text{X/R-faktor}}$
31	${\text{Asymmetrisk kortslutning kva = symmetrisk kva}}\cdot {\text{X/R-faktor}}$

I transformatorer

Det kan visas att spänningar, strömmar och impedanser i ett system per enhet kommer att ha samma värden oavsett om de refereras till primära eller sekundära av en transformator .

Till exempel, för spänning, kan vi bevisa att spänningarna per enhet på två sidor av transformatorn, sida 1 och sida 2, är desamma. Här är spänningarna per enhet på de två sidorna E _1pu respektive E _2pu .

${\begin{aligned} E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{bas1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{ N_{2}V_{\text{bas1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2} }}V_{\text{bas2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{bas2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}} \\\end{aligned}}$

(källa: Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley)

E ₁ och E ₂ är spänningarna på sidorna 1 och 2 i volt. N ₁ är antalet varv som spolen på sida 1 har. N ₂ är antalet varv som spolen på sida 2 har. V _bas1 och V _bas2 är basspänningarna på sidorna 1 och 2.

$V_{\text{bas1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{bas2}}$

För ström kan vi bevisa att strömmarna per enhet på de två sidorna är desamma nedan.

${\ start{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{ 2}}{N_{1}I_{\text{bas1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{ N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}} \\\end{aligned}}$

(källa: Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley)

där I _1,pu och I _2,pu är strömmarna per enhet på sidorna 1 respektive 2. I detta är basströmmarna I _bas1 och I _bas2 relaterade på motsatt sätt som V _bas1 och V _bas2 är relaterade, genom att

${ \begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}& =S_{\text{bas2}}\\V_{\text{bas2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\ text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\ text{bas2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1 }}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}$

Anledningen till detta förhållande är för energibesparing

S _bas1 = S _bas2

Fulllastkopparförlusten för en transformator i form per enhet är lika med värdet per enhet av dess motstånd :

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{full-load kopparförlust} }\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}$

${ \displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{bas}}}}\\ &={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{ R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\ end{aligned}}}$

Därför kan det vara mer användbart att uttrycka resistansen i per enhetsform eftersom det också representerar fulllastkopparförlusten.

Som nämnts ovan finns det två frihetsgrader inom systemet per enhet som tillåter ingenjören att specificera vilket som helst per enhetssystem. Frihetsgraderna är valet av basspänning ( V _bas ) och baseffekt ( S _bas ). Enligt konvention väljs en enkel baseffekt ( S- _bas ) för båda sidor av transformatorn och dess värde är lika med transformatorns märkeffekt. Enligt konventionen är det faktiskt två olika basspänningar som väljs, V _bas1 och V _bas2 som är lika med märkspänningarna för vardera sidan av transformatorn. Genom att välja baskvantiteter på detta sätt kan transformatorn effektivt avlägsnas från kretsen enligt beskrivningen ovan. Till exempel:

Ta en transformator som är märkt på 10 kVA och 240/100 V. Sekundärsidan har en impedans lika med 1∠0° Ω. Basimpedansen på sekundärsidan är lika med:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{ \text{bas,2}}^{2}}{S_{\text{bas}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{ \text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Detta betyder att impedansen per enhet på sekundärsidan är 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu När denna impedans hänvisas till den andra sidan blir impedansen:

${\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right )^{2}\ gånger {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}$

Basimpedansen för primärsidan beräknas på samma sätt som den sekundära:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{ \text{bas,1}}^{2}}{S_{\text{bas}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{ \text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Detta betyder att impedansen per enhet är 5,76∠0° Ω / 5,76 Ω = 1∠0° pu, vilket är detsamma som när man räknar ut från transformatorns andra sida, vilket man kan förvänta sig.

Ett annat användbart verktyg för att analysera transformatorer är att ha basändringsformeln som gör att ingenjören kan gå från en basimpedans med en uppsättning av en basspänning och baseffekt till en annan basimpedans för en annan uppsättning av en basspänning och baseffekt. Detta blir särskilt användbart i verkliga tillämpningar där en transformator med en sekundärsidaspänning på 1,2 kV kan anslutas till primärsidan av en annan transformator vars märkspänning är 1 kV. Formeln är som visas nedan.

${ \begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{ bas,ny}}}}=Z_{\text{pu,gammal}}\times \left({\frac {V_{\text{bas,gammal}}}{V_{\text{bas,ny}}} }\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned }}$

•   Beeman, Donald (1955). "Kortslutningsströmberäkningsprocedurer" . I Beeman, Donald (red.). Handbok för industriella kraftsystem . McGraw-Hill. s. se esp. 38–41, 52–55. ISBN 9780070043015 .
•   Elgerd, Olle I. (2007). "§2.5 Per-enhet representation av impedanser, strömmar, spänningar och effekter" . Electric Energy Systems Theory: An Introduction (1971 1:a upplagan). Tata McGraw-Hill. s. 35–39. ISBN 978-0070192300 .
• Yuen, Moon H. (mar–april 1974). "Short Circuit ABC - Lär dig det på en timme, använd det var som helst, memorera ingen formel". IEEE-transaktioner på industriapplikationer . IA-10 (2): 261-272. doi : 10.1109/TIA.1974.349143 .
•   William D. Jr., Stevenson (1975). Element i kraftsystemanalys (3:e upplagan). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4 .
•   Weedy, BM (1972). Elkraftsystem (2:a uppl.). London ; Toronto: J. Wiley. ISBN 0-471-92445-8 .
•   Glover, J. Duncan; Sarma, Mulukutla; Adjö, Thomas J. (2011). Kraftsystemanalys och design . Cengage Learning. s. 108–116. ISBN 978-1111425777 .