Sylvesters triangelproblem

summan av tre lika långa vektorer

Sylvesters sats eller Sylvesters formel beskriver en särskild tolkning av summan av tre parvis distinkta vektorer av lika längd i samband med triangelgeometri . Det kallas också för Sylvesters (triangel)problem i litteraturen, när det ges som ett problem snarare än ett teorem. Teoremet är uppkallat efter den brittiske matematikern James Joseph Sylvester .

Sats

Betrakta tre parvis distinkta vektorer med samma längd ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ och ${\vec {w}}$ vardera av dem verkar på samma punkt $O$ och skapar därmed punkterna ${\displaystyle A} ,$ B $\displaystyle B}$ och $C$ . Dessa punkter bildar triangeln $\triangle ABC$ med $O$ som mitten av dess omkrets . Låt nu $H$ beteckna triangelns ortocentrum , då är kopplingsvektor ${\overrightarrow {OH}}$ lika med summan av de tre vektorerna:

${\overrightarrow {OH}}={\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Dessutom, eftersom punkterna $O$ och $H$ är belägna på Euler-linjen tillsammans med tyngdpunkten $S$ gäller följande ekvation:

${\overrightarrow {OH}}=3\cdot {\overrightarrow {OS}}$

Generalisering

summan av tre vektorer

Om villkoret för lika längd i Sylvesters teorem släpps och man bara betraktar tre godtyckliga parvis distinkta vektorer, så håller inte ekvationen ovan längre. Men förhållandet med tyngdpunkten förblir sant, det vill säga:

$3\cdot {\overrightarrow {OS}}={\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w} }$

Detta följer direkt av definitionen av tyngdpunkten för en ändlig uppsättning punkter i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,$ vilket också ger en version för $n$ vektorer som verkar på ${\ displaystyle O}$ :

$n\cdot {\overrightarrow {OS}}=\summa _{i=1}^{n}v_{i}$

Här är $S$ tyngdpunkten för polygonens hörn som genereras av de $n$ -vektorerna som verkar på $O$ .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Sylvesters triangelproblem" . MathWorld .
• Darij Grinberg: Solution to American Mathematical Monthly Problem 11398 av Stanley Huang – innehåller Sylvesters teorem inklusive dess bevis som ett lemma