Svarts uppskattning

Inom finans är Blacks approximation en ungefärlig metod för att beräkna värdet av en amerikansk köpoption på en aktie som ger en enda utdelning . Den beskrevs av Fischer Black 1975.

Black –Scholes-formeln (nedan kallad "BS-formeln") tillhandahåller en explicit ekvation för värdet av en köpoption på en aktie som inte ger utdelning. Om aktien ger en eller flera diskret(a) utdelning(ar) är ingen sluten formel känd, men flera approximationer kan användas, annars måste Black–Scholes PDE lösas numeriskt. En sådan approximation beskrivs här. Se även Black–Scholes modell#amerikanska alternativ .

Metoden innebär i huvudsak att använda BS-formeln för att beräkna värdet av två europeiska köpoptioner: (1) Ett europeiskt köp med samma löptid som det amerikanska köpet som värderas, men med aktiekursen reducerad med nuvärdet av utdelningen, och (2) Ett europeiskt samtal som löper ut dagen innan utdelningen ska betalas. Det största av (1) och (2) tas som det ungefärliga värdet för det amerikanska samtalet. Se exempel åsido. Det resulterande värdet kallas ibland för samtalets "pseudoamerikanska" värde.

Ansökan

Överväg en amerikansk köpoption med ex-dividend datum om 3 månader och 5 månader, och har ett utgångsdatum på 6 månader. Utdelningen på varje ex-utdelningsdatum förväntas ge 0,70 USD. Ytterligare information presenteras nedan. Hitta värdet på den amerikanska köpoptionen.

${\begin{aligned}S_{0}&=\$40\\X&=\$40\\\sigma &= 30\%\;pa\\r&=10\%\;pa\\T&=6\;månader=.5\;år\\D&=\$0,70\\\end{aligned}}$

Först måste vi beräkna baserat på de två metoderna som anges ovan i metodavsnittet. Här kommer vi att beräkna båda delarna:

(1) Detta är den första metodberäkningen, som säger:

Ett europeiskt samtal med samma löptid som det amerikanska samtalet värderas, men med aktiekursen reducerad med nuvärdet av utdelningen.

${\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-( r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}+D_{2}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{2}}{m}})} \end{aligned}}$

där

$PV$ är nettonuvärdet av utdelningarna vid ex-dividend-datumen (vi använder ex-dividend-datumen eftersom aktiekursen på detta datum sjunker med beloppet av utdelning)

$D_{1,2}$ är utdelningarna på ex-dividenddatumen

$r$ är marknadens riskfria kurs, som vi kommer att anta är konstant för detta exempel

$\Delta t_{1,2}$ tid fram till ex-utdelningsdatumet

$m$ en divisionsfaktor för att få Δt till ett helt år. (exempel $\Delta t$ = 2 månader, $m$ = 12 månader, därför ${\frac {\Delta t}{m}}$ = 2/12 = .166667)

$e$ är exponentialfunktionen.

Att tillämpa denna formel på frågan:

${\displaystyle {\begin{aligned}0.7e^{-(.1) ({\frac {3}{12}})}+0.7e^{-(.1)({\frac {5}{12}})}=1.3541\end{aligned}}} Optionspriset kan$

därför beräknas med Black-Scholes -Merton-modellen där kommer att diskontera utdelningen från $S_{0}$ som jag kommer att beteckna med $S_{0}'$ för det nya värdet:

$S_{0}'=40-1.3541=38.6459$

Resten av variablerna förblir desamma. Nu måste vi beräkna d ₁ och d ₂ med hjälp av dessa formler

${\begin{aligned}C&=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-r(T)}N( d_{2})\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {S_{0}}{X}}\right)+\left(r+{\frac { \sigma ^{2}}{2}}\right)(T)\right]}{\sigma {\sqrt {T}}}}\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\ sqrt {T}}\end{aligned}}$

där,

$N(\cdot )$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen

$T$ är tiden till mognad

${ \displaystyle S_{0}}$ är det aktuella priset på den underliggande tillgången

$X$ är lösenpriset

$r$ är den riskfria räntan (årskurs, uttryckt i termer av kontinuerlig sammansättning )

${\ displaystyle \sigma }$ är volatiliteten för den underliggande tillgången.

$aligned} d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {38.6459}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2} }\right)(0.5)\right]}{0.3{\sqrt {0.5}}}}=0.1794\\d_{2}&=0.1794-0.3{\sqrt {0.5}}=-0.0327\\N(d_ {1})&=0.5712\\N(d_{2})&=0.4870\\C&=38.6459(0.5712)-40e^{-0.1(0.5)}(0.4870)=3.5446\approx \$3.54\end{aligned }}}$

av värdena vi får:

(2) Detta är den andra metodberäkningen, som säger:

Ett europeiskt samtal som löper ut dagen innan utdelningen ska betalas.

Denna metod börjar precis som den föregående metoden förutom att denna options löptid sätts till den sista löptiden före den sista utdelningen (vilket betyder den andra utdelningen i den femte månaden):

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}\end{aligned}}} För det$

mesta del förblir variablerna desamma förutom tiden till förfallodag, som är lika med:

${\begin{aligned}T&=5\;months=. 4167\;years\end{aligned}}$

${\begin{aligned}PV&=0.7e^{-(0.1)({\frac {3}{12}})}=0.6827\\S_{0}'&=40- 0.6827=39.3173\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {39.3173}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2 }}{2}}\right)(0.4167)\right]}{0.3{\sqrt {0.4167}}}}=0.2231\\d_{2}&=0.2231-0.3{\sqrt {0.4167}}=0.0294\ \N(d_{1})&=0.5883\\N(d_{2})&=0.5117\\C&=39.3173(0.5883)-40e^{-0.1(0.4167)}(0.5117)=3.4997\50 ca \$3. \end{aligned}}$

Om vi ​​återkallar metod (1) pris på $\$3,54>\$3,50$ från metod (2), ser vi att priset på den amerikanska köpoptionen, enligt Fisher Blacks uppskattning, är det högsta av de två metoder, därför priset på alternativet = $\$3,54$ .

•   Hull, John C. (1997). Optioner, terminer och andra derivat . Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1 .